Description
小A和小B是一对好朋友，他们经常一起愉快的玩耍。最近小B沉迷于××师手游，天天刷本，根本无心搞学习。但是已经入坑了几个月，却一次都没有抽到SSR，让他非常怀疑人生。勤勉的小A为了劝说小B早日脱坑，认真学习，决定以抛硬币的形式让小B明白他是一个彻彻底底的非洲人，从而对这个游戏绝望。两个人同时抛b次硬币，如果小A的正面朝上的次数大于小B正面朝上的次数，则小A获胜。但事实上，小A也曾经沉迷过拉拉游戏，而且他一次UR也没有抽到过，所以他对于自己的运气也没有太大把握。所以他决定在小B没注意的时候作弊，悄悄地多抛几次硬币，当然，为了不让小B怀疑，他不会抛太多次。现在小A想问你，在多少种可能的情况下，他能够胜过小B呢？由于答案可能太大，所以你只需要输出答案在十进制表示下的最后k位即可。
Input
有多组数据，对于每组数据输入三个数a,b,k，分别代表小A抛硬币的次数，小B抛硬币的次
数，以及最终答案保留多少位整数。
\(1\leqslant a,b\leqslant 10^{15},b\leqslant a\leqslant b+10^4,1\leqslant k\leqslant 9\)，数据组数小于等于10。
Output
对于每组数据，输出一个数，表示最终答案的最后k位为多少，若不足k位以0补全。
Sample Input
2 1 9
Sample Output
000000004
6
3 2 1
题目要求
\]
暴力可以过30pts，后缀和优化一下，可以拿到70pts(考场上拿了70分就赶快想其他题去)
怎么拿到满分嘞？我们来推柿子
\]
我们令\(i+j=k\)，那么后面那部分的式子变为
\]
\(\sum\limits_{i=0}^k\binom{b}{i}\binom{a}{k-i}\)相当于枚举\(k\)中的部分在\(a\)中或在\(b\)中，所以\(\sum\limits_{i=0}^k\binom{b}{i}\binom{a}{k-i}=\binom{a+b}{k}\)
所以原式可以变成
\]
然后就可以暴力枚举了……还是70pts啊喂，难道优化没啥用？
肯定有用的！我们考虑一下数据中还有一个条件没有用上：\(b-a\leqslant 10^4\)
我们将杨辉三角第\(a+b\)行的前\(b\)个元素标记一下，由于对称，所以我们把后\(b\)个元素也标记一下，可以发现，没有标记的元素至多只有\(2(a-b)\)个！
我们可以\(O(a-b)\)减去中间那部分，然后除2即可，所以答案为
\]
做完了吗？并没有，2在\(10^x\)下没有逆元……所以这个方法不可行
考虑一下\(\sum\limits_{i=b+1}^{a+1}\binom{a+b}{i}\)这部分也是有对称的！除了\(a+b\)为偶数时……会单出来一个\(\binom{a+b}{(a+b)/2}\)
但其实，\(\binom{a+b}{(a+b)/2)}=\binom{a+b-1}{(a+b)/2-1}+\binom{a+b-1}{(a+b)/2}\)，我们可以发现，\(\binom{a+b-1}{(a+b)/2-1}=\binom{a+b-1}{(a+b)/2}\)
所以\(\dfrac{\binom{a+b}{(a+b)/2}}{2}=\binom{a+b-1}{(a+b)/2-1}=\binom{a+b-1}{(a+b)/2}\)
那么最终答案为
\]
/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define it iterator
#define vt value_type
#define inf 0x7f7f7f7f
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline char gc(){
static char buf[1000000],*p1=buf,*p2=buf;
return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
template<typename T>inline T frd(T x){
int f=1; char ch=gc();
for (;ch<'0'||ch>'9';ch=gc()) if (ch=='-') f=-1;
for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=gc()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
return x*f;
}
template<typename T>inline T read(T x){
int f=1;char ch=getchar();
for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') f=-1;
for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
return x*f;
}
inline void print(int x){
if (x<0) putchar('-'),x=-x;
if (x>9) print(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
template<typename T>inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T>inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
template<typename T>inline T swap(T &x,T &y){T t=x; x=y,y=t;}
const int N=2e6;
namespace Math{
int P[3],V[3],C[3],f[3][N+10],SP;
int mlt(int a,ll b,int p=inf){
int res=1;
for (;b;b>>=1,a=1ll*a*a%p) if (b&1) res=1ll*res*a%p;
return res;
}
void prepare(int p){
P[1]=2,V[1]=f[1][0]=1,C[1]=0;
while (p%2==0) V[1]<<=1,p>>=1,C[1]++;
for (int i=1;i<=V[1];i++) f[1][i]=1ll*f[1][i-1]*(i%2?i:1)%V[1];
P[2]=5,V[2]=f[2][0]=1,C[2]=0;
while (p%5==0) V[2]*=5,p/=5,C[2]++;
for (int i=1;i<=V[2];i++) f[2][i]=1ll*f[2][i-1]*(i%5?i:1)%V[2];
SP=V[1]*V[2];
}
int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if (!b){x=1,y=0;return;}
exgcd(b,a%b,x,y);
int t=x; x=y,y=t-a/b*y;
}
int Ex_GCD(int a,int b,int c){
int d=gcd(a,b),x,y;
if (c%d) return -1;
a/=d,b/=d,c/=d;
exgcd(a,b,x,y);
x=(1ll*x*c%b+b)%b;
return x;
}
int work(ll n,int i){
if (n<=1) return 1;
int res=1ll*mlt(f[i][V[i]],n/V[i],V[i])*f[i][n%V[i]]%V[i];
return 1ll*res*work(n/P[i],i)%V[i];
}
ll count(ll n,int i){return n<P[i]?0:count(n/P[i],i)+n/P[i];}
int calc(ll n,ll m,int i){
ll cnt=count(n,i)-count(m,i)-count(n-m,i);
if (C[i]<=cnt) return 0;
return 1ll*work(n,i)*Ex_GCD(work(m,i),V[i],1)%V[i]*Ex_GCD(work(n-m,i),V[i],1)%V[i]*mlt(P[i],cnt)%V[i];
}
int Ex_C(ll n,ll m){
if (n<m) return 0;
int Ans=0;
Ans=(Ans+1ll*Ex_GCD(SP/V[1],V[1],1)*(SP/V[1])%SP*calc(n,m,1)%SP)%SP;
Ans=(Ans+1ll*Ex_GCD(SP/V[2],V[2],1)*(SP/V[2])%SP*calc(n,m,2)%SP)%SP;
return Ans;
}
}
using namespace Math;
int main(){
ll a,b; int p,last=0;
while (~scanf("%lld%lld%d",&a,&b,&p)){
p=mlt(10,p); int Ans=0;
if (p!=last) prepare(last=p);
if (a==b){
Ans=mlt(2,a+b-1,p)-Ex_C(a+b-1,a-1);
Ans=(Ans%p+p)%p;
while (Ans<p/10) putchar('0'),p/=10;
printf("%d\n",Ans);
continue;
}
if ((a+b)%2==0) Ans=Ex_C(a+b-1,((a+b)>>1)-1);
for (ll i=b+1;i<(a+b+1)>>1;i++) Ans=(Ex_C(a+b,i)+Ans)%p;
Ans=mlt(2,a+b-1,p)+Ans;
Ans=(Ans%p+p)%p;
while (Ans<p/10) putchar('0'),p/=10;
printf("%d\n",Ans);
}
return 0;
}