【简介】
解决LCA问题的倍增法是一种基于倍增思想的在线算法。
【原理】
原理和同样是使用倍增思想的RMQ－ST 算法类似,比较简单，想清楚后很容易实现。
对于每个节点u , ancestors[u][k] 表示 u 的第2k个祖先是谁。很容易就想到递推式： ancestors[j][i] = ancestors[ancestors[j][i - 1]][i - 1]; 根据二进制原理，理论上 u 的所有祖先都可以根据ancestors数组多次跳转得到，这样就间接地记录了每个节点的祖先信息。
查询LCA(u,v)的时候：
（一）u和v所在的树的层数如果一样，令u'=u。否则需要平衡操作（假设u更深），先找到u的一个祖先u', 使得u'的层数和v一样，此时LCA(u,v)=LCA(u',v) 。证明很简单：如果LCA(u,v)=v , 那么u'一定等于v ;如果LCA(u,v)=k ，k!=v ，那么k 的深度一定小于 v ， u、u'、v 一定在k的子树中；综上所述，LCA(u,v)=LCA(u',v)一定成立。
（二）此时u' 和 v 的祖先序列中一开始的部分一定有所重叠，重叠部分的最后一个元素（也就是深度最深，与u'、v最近的元素）就是所求的LCA(u,v)。这里ancestors数组就可以派上用场了。找到第一个不重叠的节点k，LCA(u,v)=ancestors[k][0] 。 找k的过程利用二进制贪心思想，先尽可能跳到最上层的祖先，如果两祖先相等，说明完全可以跳小点，跳的距离除2，这样一步步跳下去一定可以找到k。
【hdu 2586】
需要注意的是超界的处理。
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;
int n,m;
struct edge
{
int d,v,next;
edge(){}
edge(int _d,int _v,int _next)
{
d=_d;v=_v;next=_next;
}
}data[];
int map[];
int pool;
void addedge(int s,int e,int v)
{
int t=map[s];
data[pool++]=edge(e,v,t);
map[s]=pool-;
}
int ANCLOG;
int depth[];
int ifv[];
int dis[];
int anc[][];
void dfs(int cur,int dep)
{
ifv[cur]=;
depth[cur]=dep;
int p=map[cur];
while (p!=-)
{
if (!ifv[data[p].d])
{
dis[data[p].d]=dis[cur]+data[p].v;
anc[data[p].d][]=cur;
dfs(data[p].d,dep+);
}
p=data[p].next;
}
}
void initLCA()
{
for (int k=;k<ANCLOG;++k)
for (int i=;i<n;++i)
{
if (anc[i][k-]==-) continue;
anc[i][k]=anc[anc[i][k-]][k-];
}
}
int getLCA(int u,int v)
{
if (depth[u]<depth[v]) swap(u,v);
for (int k=ANCLOG;k>=;--k)
{
if (anc[u][k]==-) continue;
if (depth[anc[u][k]]>=depth[v])
{
u=anc[u][k];
if (depth[u]==depth[v]) break;
}
}
if (u==v) return u;
for (int k=ANCLOG;k>=;--k)
{
if (anc[u][k]==-) continue;
if (anc[u][k]!=anc[v][k])
{
u=anc[u][k];
v=anc[v][k];
}
}
return anc[u][];
}
int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while (T--)
{
pool=;
memset(anc,-,sizeof anc);
memset(map,-,sizeof map);
memset(ifv,,sizeof ifv);
scanf("%d%d",&n,&m);
ANCLOG=(int)(log(n)/log(2.0));
int s,e,v;
for (int i=;i<n-;++i)
{
scanf("%d%d%d",&s,&e,&v);
addedge(s-,e-,v);
addedge(e-,s-,v);
}
dis[]=;
dfs(,);
initLCA();
for (int i=;i<m;++i)
{
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
--u;--v;
int k=getLCA(u,v);
k=dis[u]+dis[v]-*dis[k];
printf("%d\n",k);
}
}
}