洛谷 P3951 NOIP 2017 小凯的疑惑

题目描述

小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有 无数个。在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。现在小 凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？注意：输入数据保证存在 小凯无法准确支付的商品。

输入格式

两个正整数 \(a\) 和 \(b\)，它们之间用一个空格隔开，表示小凯中金币的面值。

输出格式

一个正整数 \(N\)，表示不找零的情况下，小凯用手中的金币不能准确支付的最贵的物品的价值。

输入输出样例

输入 #1

3 7

输出 #1

11

说明/提示

【输入输出样例 1 说明】

小凯手中有面值为\(3\)和\(7\)的金币无数个，在不找零的前提下无法准确支付价值为\(2,4,5,8,11\) 的物品，其中最贵的物品价值为 \(11\)，比\(11\) 贵的物品都能买到，比如：

\(12 = 3 \times 4 + 7 \times 0\)

\(13 = 3 \times 2 + 7 \times 1\)

\(14 = 3 \times 0 + 7 \times 2\)

\(15 = 3 \times 5 + 7 \times 0\)

【数据范围与约定】

对于 \(30\%\)的数据： \(1 \le a,b \le 50\)

对于 \(60\%\)的数据： \(1 \le a,b \le 10^4\)

对于\(100\%\)的数据：\(1 \le a,b \le 10^9\)

分析

我们不妨设 \(a<b\)，答案为\(x\)

如果\(x\)可以被\(a\)和\(b\)表示出来的话，那么就有

\(x=ma+nb(m \geq 0,n \geq 0)\)

但是\(x\)不能表达成上面的式子，我们要使\(x\)最大，因为\(a<b\)，所以令\(n=-1\)

而且\(ma\)不能被\(b\)整除，否则\(b\)又会多出一个因子

因此\(m_{max}=b-1\)

所以\(x=a(b-1)-b=ab-a-b\)

当\(a > b\)时推出的式子完全相同，因此最终的答案为

\(ab-a-b\)

代码

#include<cstdio>

int main(){

    long long a,b;

    scanf("%lld%lld",&a,&b);

    printf("%lld\n",a*b-a-b);

    return 0;

}