设 \(f(x)\) 在 \(\mathbb{R}\) 上有三阶导数, \(f(x)\) 及各阶导数都恒为正,且 \(\forall x \in \mathbb{R}\) 有\(f‘‘‘(x)\leqslant f(x)\).求证 :
\[f‘(x)<2^{\frac{1}{6}}f(x)
\]
Proof :
因为各阶导数都为正,所以 \(f(x),f‘(x),f‘‘(x)\) 都严格递增,由此 \(\lim\limits_{n\to -\infty}f(x)\) 存在.由微分中值定理,
\[\exists \theta\in(x,x+1),\text{s.t.}f(x+1)-f(x)=f‘(\theta)>f‘(x)>0
\]
由此 \(\lim\limits_{n\to -\infty}f‘(x)=0\). 同理 \(\lim\limits_{n\to -\infty}f‘‘(x)=0\). 所以
\[f‘‘(x)f‘‘‘(x)+[f‘(x)]^2\leqslant f(x)f‘‘(x)+[f‘(x)]^2
\]
将此式在 \((-\infty,x)\) 上积分,可得
\[\begin{equation}
\frac{1}{2}[f‘‘(x)]^2+\int_{-\infty}^{x}[f‘(t)]^2{\rm d} t \leqslant f(x)f‘(x).\tag{1}
\end{equation}
\]
上式两端同乘 \(f‘‘‘(x)\), 再由 \(f‘‘‘(x)\leqslant f(x)\), 可得
\[\begin{equation}
\frac{1}{2}[f‘‘(x)]^2f‘‘‘(x)+f‘‘‘(x)\int_{-\infty}^{x}[f‘(t)]^2{\rm d} t \leqslant f^2(x)f‘(x).\tag{2}
\end{equation}
\]
因此,
\[ \frac{1}{2}[f‘‘(x)]^2f‘‘‘(x) < f^2(x)f‘(x)
\]
将此式在 \((-\infty,x)\) 上积分, 可得 \([f‘‘(x)]^3<2f^3(x)\). 即 \(f‘‘(x)<2^{1/3}f(x)\). 两端同乘 \(f‘(x)\) 后再在 \((-\infty,x)\) 上积分,可得结论.
注意 : 目前还不知道使得 \(f‘(x)\leqslant cf(x)\) 成立的最小正常数\(c\)为何.取 \(f(x)=e^{x}\), 可知 \(c\geqslant1\). 另外,由于 \(f‘‘\) 严格增,可得
\[\int_{-\infty}^{x}[f‘(t)]^2{\rm d} t=\int_{-\infty}^{x}\frac{[f‘(t)]^2f‘‘(t)}{f‘‘(t)}{\rm d} t>\frac{1}{f‘‘(x)}\int_{-\infty}^{x}[f‘(t)]^2f‘‘(t){\rm d} t=\frac{[f‘(x)]^3}{3f‘‘(x)}
\]
结合 \((1)\), 可得
\[ \begin{equation}
\frac{[f‘(x)]^3}{3f‘‘(x)}+\frac{1}{2}[f‘‘(x)]^2<f(x)f‘(x)\tag{3}
\end{equation}
\]
\((3)\) 式左端写成
\[\frac{[f‘(x)]^3}{3f‘‘(x)}+\frac{1}{6}[f‘‘(x)]^2+\frac{1}{6}[f‘‘(x)]^2+\frac{1}{6}[f‘‘(x)]^2
\]
并利用平均不等式,可得
\[4\left(\frac{1}{3\cdot 6^3}f‘^3f‘‘^5\right)^{\frac{1}{4}}<ff‘
\]
即
\[\frac{4^4}{3\cdot 6^3}[f‘‘(x)]^5<f^4(x)f‘(x)
\]
两端同乘 \(f‘‘‘(x)\), 并利用 \(f‘‘‘(x)\leqslant f(x)\), 得
\[\frac{4^4}{3\cdot 6^3}[f‘‘(x)]^5f‘‘‘(x)<f^5(x)f‘(x)
\]
在 \((-\infty,x)\) 上积分,可得
\[f‘‘(x)<\left(\frac{3^4}{2^5}\right)^{\frac{1}{6}}f(x)
\]
两端同乘 \(f‘(x)\) 后再在 \((-\infty,x)\) 上积分,可得
\[f‘(x)<\left(\frac{3^4}{2^5}\right)^{\frac{1}{12}}f(x)
\]
\[\left(\frac{3^4}{2^5}\right)^{\frac{1}{12}}\approx 1.080466396 \qquad 2^{\frac{1}{6}}\approx 1.122462048
\]
\(\square\)
数学分析01