向量

简介

向量，又称矢量，是既有大小又有方向的量，向量的长度即向量的大小称为向量的模。在计算几何中，从指向的向量记作。维向量可以用个实数来表示。向量的基本运算包括加减法、数乘、点积、叉积和混合积。使用向量这一个基本的数据结构，我们可以用向量表示点和更复杂的各种图形。

注意事项

我们一般用一个二维向量来表示点。注意，在有些计算几何相关的题目中，坐标是可以利用整形储存的。在做这样的题目时，坐标一定要用整形变量储存，否则精度上容易出错。具体的将点的坐标用整形变量储存可以需要使用一些技巧，比如计算中计算平方或将坐标扩大二倍等方式。

// Pt是Point的缩写

struct Pt {

    double x, y;

    Pt() { }

    Pt(double x, double y) : x(x), y(y) { }

};

double norm(Pt p) { return sqrt(p.x*p.x + p.y*p.y); }

double dist (Pt a, Pt b) { return (a-b).norm(); }

void print(Pt p) { printf("(%f, %f)", p.x, p.y); }

基本计算

加减法

向量的加减法遵从平行四边形法则和三角形法则。

示例代码

Pt operator - (Pt a, Pt b) { return Pt(a.x - b.x, a.y - b.y); }

Pt operator + (Pt a, Pt b) { return Pt(a.x + b.x, a.y + b.y); }

长度

向量的长度是。

示例代码

double len(Pt p) { return sqrt(sqr(p.x)+sqr(p.y)); }

数乘

。

向量的数乘是一个向量和实数的运算。如果是零，那么结果是一个零向量，如果是一个负数，那么结果向量会改变方向。

示例代码

Pt operator * (double A, Pt p) { return Pt(p.x*A, p.y*A); }

Pt operator * (Pt p, double A) { return Pt(p.x*A, p.y*A); }

点积

又称内积。

，其中是与的夹角。

应用

点积可以用来计算两向量的夹角。

示例代码

double dot(Pt a, Pt b) { return a.x * b.x + a.y * b.y; }

叉积

叉积又称外积。叉积运算得到的是一个向量，它的大小是和所构成的平行四边形的面积，方向与和所在平面垂直，、与成右手系。

设两向量与，它们在二维平面上的的叉积为：

示例代码

double det(Pt a, Pt b) { return a.x * b.y - a.y * b.x; }

性质与应用

叉积拥有两个重要的性质——面积与方向。

两向量叉积得到新向量的长度为这两个所构成的平行四边形的面积，利用这个性质我们可以求三角形的面积。

两向量叉积能反映出两向量方向的信息。如果的符号为正，那么在的逆时针方向；如果符号为负，那么在的顺时针方向；如果结果为零的话，那么与共线。

计算结果	与的方向
	在的逆时针方向
	与共线
	在的顺时针方向

经典题目

• ZOJ 1010 Area

向量旋转

操作目的

将向量绕原点逆时针旋转度。

模板代码

Pt rotate(Pt p, double a) {

    return Pt(p.x*cos(a) - p.y*sin(a), p.x*sin(a) + p.y*cos(a));

}