PCA的作用

主成分分析简称 PCA（Principal Component Analysis），有两个大的用处
1.Clustering
把复杂的多维数据点，简化成少量数据点，易于分簇
2.降维
降低高维数据，简化计算
降低维度，压缩，去噪

原来的数据集是d维，转换成k维的数据，k<d
新的k维数据尽可能多的包含原来d维数据的信息

数据压缩

PCA求解

• 2维降维到1维: 寻找一个一维向量的方向，数据在这个向量上的投影能最小化损失
• 从n维降维到k维：寻找一个k维向量，数据在这个k维空间的投影能最小化损失，最大程度的包含原来n维数据的信息

如何选投影方向

二维降到一维的问题，要在二维平面中选择一个方向，将所有数据都投影到这个方向所在直线上，用投影值表示原始记录。
如何选择这个方向，才能尽量保留最多的原始信息呢？

• 左图5个数据点，投影到x轴，y轴都不是好的选择。
  直观看：投影后的投影值尽可能分散。
  这种分散程度，用数学上的方差来表述
  方差是用来度量点集分散程度的指标

对数据做均值化

例子中有5条记录，2个维度
每一列为一条数据记录，一行为一个字段维度

第一个字段均值2，第二个字段均值3
均值化处理，每个字段内所有值都减去字段均值，其结果是将每个字段都变为均值为0

协方差矩阵

• 协方差是衡量2个维度之间是否有关系，2个维度之间线性相关性有多大
  
  
• 案例如下：
  

PCA目标函数推导1

我们的目的，是要找一个线性变化，让数据投影的方差最大化，假设先找一个线性变化u1，对xi做线性变化的投影


是投影后的向量
投影的均值:

投影的方差：

S是协方差矩阵：

PCA目标函数推导2

#利用拉格朗日变换

特征值和特征向量求解

至此可证明，我们要找的x 投影后的方差就是协方差矩阵的特征值，而我们想要的最大方差，显然就是协方差矩阵最大的特征值，最佳投影方向就是最大特征值所对应的特征向量
协方差的特征值：
特征向量：
将所有特征值从大到小排列，将相应的特征向量随之排列，可取特征向量的前K行组成的矩阵
乘以原始数据矩阵X，就得到了我们需要的降维后的数据矩阵Y

PCA算法步骤

设有m条n维数据。
1）将原始数据按列组成n行m列矩阵X
2）将X的每一行（代表一个属性字段）进行零均值化，即减去这一行的均值
3）求出协方差矩阵
4）求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量
5）将特征向量按对应特征值大小从上到下按行排列成矩阵，取前k行组成矩阵P
6）Y=PX即为降维到k维后的数据

PCA求解实例

特征脸示例

将高斯核函数（rbf）应用到PCA

Kernal PCA算法步骤

LDA（监督式的学习）

LDA（Linear Discriminant Analysis），中文名为“线性判别分析”。
LDA的中心思想就是最大化类间距离以及最小化类内距离

LDA理论推导

== 至此，我们最大化的目标就对应了矩阵的最大特征值，而投影方向就是 这个特征值对应的特征向量可将LDA从二分类扩展至多分类高维情况==

LDA算法流程

PCA与LDA的比较

• 相似点
  从过程来看，PCA与LDA有很大的相似性，最后其实都是求某一个矩阵的特征值，投影矩阵即为该特征值对应的特征向量

• 差异
  PCA为非监督降维，LDA为有监督降维
  PCA希望投影后的数据方差尽可能的大（最大可分性），因为其假设方差越大，则所包含的信息越多；而LDA则希望投影后相同类别的组内方差小，而组间方差大。LDA能合理运用标签信息，使得投影后的维度具有判别性，不同类别的数据尽可能的分开。
  有标签就尽可能的利用标签的数据（LDA），而对于纯粹的非监督任务，则还是得用PCA进行数据降维。

参考资料

• PCA的数学原理
• PCA与LDA比较
• LDA线性判别原理解析
• Dimensionality Reduction Stanford CSEP 546
• 贪心机器学习高阶班