正题

题目链接:https://atcoder.jp/contests/arc122/tasks/arc122_c

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题目大意

一个数对开始是\((0,0)\)，每次可以选择一个数加一或者让一个数加上另一个数，求使得第一个数变成\(n\)的方案。步数不超过\(130\)。

\(1\leq n\leq 10^{18}\)

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解题思路

官方是斐波那契，但是我考试的时候过法比较神奇。

看上去比较像更相减损，但是不知道第二个数是多少，感觉我们应该能找到一个数对\((n,k)\)使得它更相减损的步骤很少。

考虑的分散一点，设\(n=xk+k\)。那么我们相当于要找到一个\(x\)使得\(\frac{xk+k}{k}=\frac{1}{x}\)。

然后解出来得到\(x=\frac{\sqrt 5-1}{2}\)（其实就是黄金分割率）。

所以我们让\(k=n\times \frac{\sqrt 5-1}{2}\)然后更相减损下去，之后会发现有点误差，我们前后各枚举\(10000\)找到一个满足条件的就好了。

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
ll n;vector<ll> z;
void print(ll x,ll y){
	if(!x){while(y&&z.size()<=130)y--,z.push_back(2);return;}
	if(!y){while(x&&z.size()<=130)x--,z.push_back(1);return;}
	if(x<y) print(x,y-x),z.push_back(4);
	else print(x-y,y),z.push_back(3);
}
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);
	double M=(sqrt(5.0)-1.0)*(double)n/2.0;
	ll m=M;
	for(ll i=max(m-10000,0ll);i<=m+10000;i++){
		print(n,i);
		if(z.size()>130){z.clear();continue;}
		printf("%lld\n",z.size());
		for(ll i=0;i<z.size();i++)
			printf("%lld\n",z[i]);
		break;
	}
	return 0;
}