传送门
题解
先说结论: 任意正整数可以拆分成若干个斐波那契数
斐波那契数列: 1 1 2 3 5 8 13 21 34
例 17 = 13 + 3 + 1
看上去是对的,怎么证明呢?
首先假如每一个斐波那契数可以重复多次,那么显然成立(因为可以重复使用\(1\)来构成)
进一步 因为\(f_{x} = f_{x-1} + f_{x-2}\), \(f_{x-1} > f_{x-2}\) 所以 \(f_{x} < 2f_{x-1}\)
假设我们使用了两次\(f_{x-1}\), 那么我们可以使用一次类似进位的操作把他进成\(f_{x}\)(剩下的递归构造)
这样一旦有重复的我们就进位,最后可以得到一个不重复的子数列
也就是说 任意正整数可以拆分成若干个斐波那契数的和
(我把这玩意称作斐波那契进制数?
好了,回到我们这道题目上来, 不难发现反复进行3,4操作实际上就是在计算斐波那契数列
那么问题来了我们可以通过这个方式来得到一个斐波那契数,但是怎么才能得到若干个斐波那契数的和呢
来看看,我们让第三个斐波那契数加1(其实就是在计算过程中使用1, 2操作
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 |
1 | 1 | 3 | 4 | 7 | 11 | 18 | 29 | 47 | 76 |
+0 | +0 | +1 | +2 | +3 | +5 | +8 | +13 | +21 | +34 |
容易发现我们在第三项加一,后面增加的数又构成了斐波那契数列。
对, 就是你想的那样, 我们想要让x最终变成76 (55 + 34)的话, 就直接在第三项计算完之后调用操作1/2,让他加一,这样在计算到55时,就会加34, 也就是 55 + 34 = 76;
好了,剩下的就只有推式子和实现了。
void pre(){
f[0]=0, f[1]=1;
for(int i=2; i<=100; i++) f[i] = f[i-1] + f[i-2];
}
int main(){
a=read();
pre();
n=100;
while(f[n] > a) n--;
for(int i=n; i>0; i--){
if(a>=f[i]){
v[n-i+1] = 1;
a -= f[i];
}
}
int ans = 0;
cout << 130 << endl;
int it = (n%2);
for(int i=1; i<=n; i++){
if(i != 1){
ans++;
cout << it?3:4 << endl;
}
if(v[i]){
ans++;
cout << it?1:2 << endl;
}
it = !it;
}
for(int i=ans; i<130; i++) cout << 4 << endl;
return 0;
}