正睿金华Day6数论&杂题选讲

2023-12-20 20:18:52

<前言>

好久没写博客了，从Day5开始，那么我就从Day6开始补吧。

等等让我找找day6讲什么的、。。。

偶，是任轩笛讲的，上午讲数论和数论函数，下午杂题选讲。

<正文>

质因数

一开始讲的是质因数的素性测试、质因子分解之类的，听着还挺正常。讲到线性筛的时候感觉还行，就去上了个厕所回来。

素性测试：
- 试除法，配合质数筛法可以 $O(\sqrt n)$ O(n)解决
  
  这个只要筛出 $\sqrt n$ n之内的素数。然后一直试除，能除就除，只要能出就不是素数
- Miller-Rabin素性测试， $O(log\ n)$ O(log n)完成但可能错误。
  
  这个我没听啊，但大致讲一下吧。
  - 基本原理是费马小定理：若 p 是质数，a, p 互质，则 $a^{p-1} \equiv 1(\bmod\ p)$ ap−1≡1(mod p)
  - 于是对于某个 p，若能找到与它互质的 a 使得 $a^{p-1} \neq 1(mod\ p)$ ap−1̸=1(mod p)，则p不是质数。
  - 然而有一些合数 p，满足所有与它互质的 a 都有 $a^{p-1} \equiv 1(\bmod\ p)$ ap−1≡1(mod p)，这种数称为 Carmichael 数（如 561 = 3 ∗ 11 ∗ 17），这些数是用上面的方法检验不出来的。
  - 所以还需要奇素数判定。对于奇素数 p， $\left(a^{\frac{p-1}{2}}+1\right)\left(a^{\frac{p-1}{2}}-1\right) \equiv 0\ (\bmod \ p)$ (a2p−1+1)(a2p−1−1)≡0 (mod p)，由于 $F_p$ Fp是整环，所以 $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1$ a2p−1≡1 或 $p-1$ p−1.
  - 如果 $\frac{p-1}{2}$ 2p−1还是偶数则可以继续往下检验。
- 印度人的AKS就不说了，是保证正确的log n算法:)
质因数分解：
- 试除法：能除就除，不能除就加除数，直到大于原数。f复杂度就算用线性筛优化寻找素数，也是 $O(\sqrt n)$ O(n)，太慢了。
- Pollard’s Rho算法，期望复杂度 $O(\sqrt[4]{n} \log n)$ O(4nlogn)
  - 假如要分解一个数 n，首先进行素性测试，是素数直接返回。
  - 否则就要生成一些随机的 $x_i$ xi，去求 $gcd(|x_i − x_j|, n)$ gcd(∣xi−xj∣,n)，如果这个 $∈ (1, n)$ ∈(1,n) 则找到了 $n$ n的一个因子，递归分解。
  - 一个挺靠谱的随机方法就是 $x \leftarrow x^{2}+c$ x←x2+c,c为随机数。
  - 这样随机出来的 x 可能会进入循环，假如进入循环了我们还没找到因子，就重新随个 x 和 c，重新做。
  - 如何判定是否进入环中：
    - 可以证明 $x ← x^2 + c$ x←x2+c，形成的一定是一个 ρ 形结构,从一头进入循环就出不来了。我们可以采取标记的方法
    - 每次当 i 为 2 的幂次的时候就令 $y ← x_i$ y←xi，如果某时刻 $x_i = y$ xi=y
      了则说明已经在环上绕了一圈了。
      即：看 x(2,4] 是否 = x2，看 x(4,8] 是否 = x4，看 x(8,16] 是否
      = x8……
      
      这样“浪费”的步数仅仅是 O( 环长 ) 级别的。

数论

老师的ppt足够详细，但是我还是有不明白。

但就着重讲几个我会的吧：

欧几里得算法

在求两数gcd得时候，我们用的多是辗转相除法或者辗转相减法。欧几里得算法就是辗转相除法了。

如果 $x|a,x|b$ x∣a,x∣b,那么 $x|(a-b)(a>b)$ x∣(a−b)(a>b),所以gcd(a,b)=gcd(a,a%b).这样不断转换直到a%b变成零，此时a就是gcd了。、

扩展欧几里得：

已知 a, b，求出 x, y 满足 ax + by = gcd(a, b)。

在欧几里德算法中递归地求，若已有 b = 0，则 gcd = a，令x = 1, y = 0。

否则求出x‘, y′满足
$b x^{\prime}+(a-a / b * b) * y=g c d(b, a \% b)=g c d(a, b)$ bx′+(a−a/b∗b)∗y=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)

于是：
$a * y+b *(x-a / b * y)=g c d(a, b)$ a∗y+b∗(x−a/b∗y)=gcd(a,b)

有 $，x1=y2; y1=x2-a/b*y2;$ ，x1=y2;y1=x2−a/b∗y2;然后对x1，y1做，递归解决，回溯时实行逆运算，最后找到最小解。

其实扩欧我们老早学过了，不过忘得差不多了，这次讲的时候听不进去，已经被任轩笛的骚操作秀到了。

类欧几里得：

额，抱歉，这个是真的挂了。在这个暑假之前我根本不知道有这个玩意。先是在hl集训中出现，然后在这里又讲了，可惜我完全看不懂公式啊。

$\operatorname{solve}(n, A, B, C)=\sum_{i=1}^{n}\left\lfloor\frac{A i+B}{C}\right\rfloor$ solve(n,A,B,C)=i=1∑n⌊CAi+B⌋

这是我全程看得懂的一个公式（也就是定义）

中国剩余定理

有 n 个方程 x ≡ ai (mod pi)，pi 两两互质，求 x。

mb题养猪

设 $w_{i}=\prod_{j \neq i} p_{j}$ wi=∏j̸=ipj，则答案 $\equiv \sum_{i=1}^{n} a_{i} * w_{i} * i n v\left(w_{i}, p_{i}\right)$ ≡∑i=1nai∗wi∗inv(wi,pi)

inv为逆元

已知 $x \equiv a_{1}\left(\bmod p_{1}\right), x \equiv a_{2}\left(\bmod p_{2}\right)$ x≡a1(modp1),x≡a2(modp2)，若 $d=\operatorname{gcd}\left(p_{1}, p_{2}\right)$ d=gcd(p1,p2)
则 $a_{1} \equiv a_{2}(\bmod d)$ a1≡a2(modd)成立

所以答案可以表示为 $w * d+\left(a_{1} \bmod d\right)$ w∗d+(a1modd)

求得：

$w \equiv\left(a_{1} / d\right)\left(\bmod p_{1} / d\right), w \equiv\left(a_{2} / d\right)\left(\bmod p_{2} / d\right)$ w≡(a1/d)(modp1/d),w≡(a2/d)(modp2/d)

每次把两个方程合并成一个模数是它们 lcm 的方程

费马小定理

时间不多长话短说：

费马小定理：p 是质数，则 $a^{p} \equiv a(\bmod p)$ ap≡a(modp)

欧拉定理：

p>1,a,p互质，则 $a^{\phi(p)} \equiv 1(\bmod p)$ aϕ(p)≡1(modp)

扩展欧拉定理

$p>1, \quad n \geq \phi(p)$ p>1,n≥ϕ(p)情况下，存在

$a^{n} \equiv a^{n \bmod \phi(p)+\phi(p)}(\bmod p)$ an≡anmodϕ(p)+ϕ(p)(modp)

还有一个数论函数，不写了不写了，反正横竖也全是题目。

算了，不能指望我听懂这些，果然听数论就是个错误的选择吗。

更可恶的是，任轩笛

码农公寓