网络流初步(2)

2023-12-20 16:49:16

通过颓了一个题解，终于也搞定了这个专题。

大神都颓题解。

　　　　　　　　　　——By skyh

 

无限之环

颓题解就行了。

建图是真的恶心。不很好想。

还是自己想到了一部分，就是看到题目里说“直线形不能转”就感觉要分类讨论。

无非就那么几类：空格，单个管，L型，直线型，T型，十字形

我一直以为这道题是最小割，然后我就死掉了，思维僵化，实际上这道题是费用流。

惯性拆点，每个点拆成5个，分别是原点以及四个方向。

而且还要染色，就是那种棋盘黑白染色。

根据水管最开始的方向，将原点与剩下的4个点连边。并且根据黑白颜色讲源汇与原点连边。（我是白连源黑连汇）

然后考虑旋转，分类讨论：

单个管：这个好说，讲原有方向分别向其它方向连边，对立方向费用为2其余费用为1。

L型：它有3种旋转，改变一个支管的方向费用为1，全都改变为2，所以关键就在于改变了几个管。

　　以上右为例，上向下连1费用边，右向左连1费用边，这样就做到了上述要求。（注意不能是上向左，下向右，考虑实际含义）

直线型：不能旋转，不连边

T型：和单个管差不多。

十字型：不用连。

这样的话，黑白染色之后跑流，如果流量==水管接头个数/2，那么就有解，就输出最小费用，否则0。

网络流初步(2)
 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 using namespace std;
 4 const int xx[]={-1,0,1,0},yy[]={0,1,0,-1};
 5 #define X i+xx[p]
 6 #define Y j+yy[p]
 7 #define S 1000005
 8 #define k knd[i][j]
 9 #define O o[i][j]
10 #define Q i+j&1^1
11 int l[S],to[S],v[S],w[S],fir[S],o[2002][2002][5],ec=1,pc,n,m,E,tot,knd[2005][2005],ans;
12 int d[S],pre[S],q[S],iq[S];
13 void link(int a,int b,int V,int W){l[++ec]=fir[a];fir[a]=ec;to[ec]=b;v[ec]=V;w[ec]=W;}
14 void con(int a,int b,int V,int W,int opt=0){if(opt)a^=b^=a^=b;link(a,b,V,W);link(b,a,0,-W);}
15 bool SPFA(){
16     for(int i=1;i<=E;++i)d[i]=S;
17     for(int h=1,t=1;h<=t;iq[q[h]]=0,++h)for(int i=fir[q[h]];i;i=l[i])if(d[to[i]]>d[q[h]]+w[i]&&v[i]){
18         d[to[i]]=d[q[h]]+w[i];pre[to[i]]=i;
19         if(!iq[to[i]])iq[q[++t]=to[i]]=1;
20     }return d[E]<S;
21 }
22 int main(){
23     scanf("%d%d",&n,&m);
24     for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j)for(int p=0;p<=4;++p)o[i][j][p]=++pc;
25     E=++pc;
26     for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j)if(i+j&1)con(0,O[0],4,0);else con(O[0],E,4,0);
27     for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j)scanf("%d",&k);
28     for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j)for(int s=0;s<4;++s)if(k&1<<s)con(O[0],O[s+1],1,0,Q),tot++;
29     for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j){
30         if(k== 1)con(O[1],O[2],1,1,Q),con(O[1],O[3],1,2,Q),con(O[1],O[4],1,1,Q);
31         if(k== 2)con(O[2],O[1],1,1,Q),con(O[2],O[3],1,1,Q),con(O[2],O[4],1,2,Q);
32         if(k== 4)con(O[3],O[2],1,1,Q),con(O[3],O[4],1,1,Q),con(O[3],O[1],1,2,Q);
33         if(k== 8)con(O[4],O[2],1,2,Q),con(O[4],O[3],1,1,Q),con(O[4],O[1],1,1,Q);
34         if(k== 3)con(O[2],O[4],1,1,Q),con(O[1],O[3],1,1,Q);
35         if(k== 6)con(O[3],O[1],1,1,Q),con(O[2],O[4],1,1,Q);
36         if(k==12)con(O[4],O[2],1,1,Q),con(O[3],O[1],1,1,Q);
37         if(k== 9)con(O[1],O[3],1,1,Q),con(O[4],O[2],1,1,Q);
38         if(k==14)con(O[2],O[1],1,1,Q),con(O[4],O[1],1,1,Q),con(O[3],O[1],1,2,Q);
39         if(k==13)con(O[3],O[2],1,1,Q),con(O[1],O[2],1,1,Q),con(O[4],O[2],1,2,Q);
40         if(k==11)con(O[2],O[3],1,1,Q),con(O[4],O[3],1,1,Q),con(O[1],O[3],1,2,Q);
41         if(k== 7)con(O[1],O[4],1,1,Q),con(O[3],O[4],1,1,Q),con(O[2],O[4],1,2,Q);
42     }
43     for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j)for(int p=0;p<4;++p)if(1<=X&&X<=n&&1<=Y&&Y<=m)
44         con(O[p+1],o[X][Y][(p^2)+1],1,0);
45     while(SPFA()){tot-=2;for(int i=pre[E];i;i=pre[to[i^1]])ans+=w[i],v[i]--,v[i^1]++;}
46     printf("%d\n",tot?-1:ans);
47 }
代码感人

 

星际竞速

上下界无源汇最小费用可行流板子。

网络流初步(2)
 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 using namespace std;
 4 #define E 2*n+1
 5 #define S 2*n+2
 6 #define Q 333333
 7 int n,m,fir[Q],l[Q],to[Q],v[Q],w[Q],ec=1,C,q[Q],d[Q],iq[Q],pre[Q];
 8 void link(int a,int b,int V,int W){l[++ec]=fir[a];fir[a]=ec;to[ec]=b;v[ec]=V;w[ec]=W;}
 9 bool SPFA(){
10     for(int i=1;i<=S;++i)d[i]=0x3fffffff;
11     for(int h=1,t=1;h<=t;iq[q[h]]=0,++h)for(int i=fir[q[h]];i;i=l[i])if(v[i]&&d[to[i]]>d[q[h]]+w[i]){
12         d[to[i]]=d[q[h]]+w[i];pre[to[i]]=i;
13         if(!iq[to[i]])iq[q[++t]=to[i]]=1;
14     }return d[E]<0x3fffffff;
15 }
16 int main(){
17     scanf("%d%d",&n,&m);
18     link(0,S,1,0);link(S,0,0,0);
19     for(int i=1,x;i<=n;++i)scanf("%d",&x),
20         link(S,i,1,x),link(i,S,0,-x),link(i+n,S,1,0),link(S,i+n,0,0),
21         link(i,E,1,0),link(E,i,0,0),link(0,i+n,1,0),link(i+n,0,0,0);
22     for(int i=1,a,b,c;i<=m;++i){
23         scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);if(a>b)a^=b^=a^=b;
24         link(a+n,b,1,c);link(b,a+n,0,-c);
25     }
26     while(SPFA())for(int i=pre[E];i;i=pre[to[i^1]])C+=w[i],v[i]--,v[i^1]++;
27     printf("%d\n",C);
28 }
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千钧一发

看起来很像《数字配对》？然后我又用鬼畜的联动边权解决了。

尝试，看那两个条件，想（很长）一段时间，就知道可以按照奇偶性分成二分图。

网络流初步(2)
 1 #include<cstdio>
 2 #include<cmath>
 3 #include<iostream>
 4 using namespace std;
 5 #define M 1000000000
 6 #define E 2*n+1
 7 int a[2005],b[2005],n,ec=3,ans,q[2005],d[2005],fir[2005],l[2000005],to[2000005],v[2000005];
 8 void link(int a,int b,int V){l[++ec]=fir[a];fir[a]=ec;to[ec]=b;v[ec]=V;}
 9 bool bfs(){
10     for(int i=1;i<=E;++i)d[i]=0;
11     for(int h=1,t=1;h<=t;++h)for(int i=fir[q[h]];i;i=l[i])if(v[i]&&!d[to[i]])
12         d[q[++t]=to[i]]=d[q[h]]+1;
13     return d[E];
14 }
15 int dfs(int p,int flow){
16     if(p==E)return flow;int r=flow;
17     for(int i=fir[p];i;i=l[i])if(v[i]&&d[to[i]]==d[p]+1&&r){
18         int x=dfs(to[i],min(v[i],r));
19         if(!x)d[to[i]]=0;
20         v[i]-=x;v[i^1]+=x,v[i^2]-=x;v[i^3]+=x;r-=x;
21     }return flow-r;
22 }
23 bool ju(long long x){int p=sqrt(x);return 1ll*p*p==x;}
24 int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
25 int main(){
26     scanf("%d",&n);d[0]=1;
27     for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]);
28     for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&b[i]),ans+=b[i];
29     for(int i=1;i<=n;++i)link(0,i,b[i]),link(i,0,0),link(n+i,E,b[i]),link(E,n+i,0);
30     for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=i+1;j<=n;++j)if(ju(1ll*a[i]*a[i]+1ll*a[j]*a[j])&&gcd(a[i],a[j])==1)
31         link(i,j+n,M),link(j+n,i,0),link(j,i+n,M),link(i+n,j,0);
32     while(bfs())ans-=dfs(0,M);printf("%d\n",ans);
33 }
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老C的方块

LNC大喊标签被我听到了，然后稍微想一下就会了。

观察，只有竖线没有横线，也许可用？

再发现，他讨厌的图形都被竖线劈成两半，左右都是2个方块。

再发现，其实就是左边距离为2，1，右边距离为1，2的4个点构成一个讨厌的图形。

最小割。四色染色。

网络流初步(2)

这样编号后，所有讨厌的图形都可以表示为ABCD。然后建四分图就好了。

网络流初步(2)
 1 #include<cstdio>
 2 #include<map>
 3 using namespace std;
 4 map<pair<int,int>,int>M;
 5 const int dx[]={0,0,1,-1},dy[]={1,-1,0,0};
 6 #define tx X[i]+dx[j]
 7 #define ty Y[i]+dy[j]
 8 #define inf 0x3fffffff
 9 #define S 13333333
10 int r,c,n,X[S],Y[S],C[S],ans,fir[S],l[S],to[S],v[S],ec=1,d[S],q[S];
11 int knd(int x,int y){return x&1?y&3:1000005-y&3;}
12 void link(int a,int b,int V){l[++ec]=fir[a];fir[a]=ec;to[ec]=b;v[ec]=V;}
13 void con(int a,int b,int V){link(a,b,V);link(b,a,0);}
14 bool bfs(){
15     for(int i=1;i<=(n<<1|1);++i)d[i]=0;
16     for(int h=1,t=1;h<=t;++h)for(int i=fir[q[h]];i;i=l[i])if(v[i]&&!d[to[i]])
17         d[q[++t]=to[i]]=d[q[h]]+1;
18     return d[1];
19 }
20 int dfs(int p,int flow){
21     int r=flow;if(p==1)return r;
22     for(int i=fir[p];i&&r;i=l[i])if(v[i]&&d[to[i]]==d[p]+1){
23         int x=dfs(to[i],min(v[i],r));
24         if(!x)d[to[i]]=0;
25         v[i]-=x;v[i^1]+=x;r-=x;
26     }return flow-r;
27 }
28 int main(){
29     scanf("%d%d%d",&r,&c,&n);d[0]=1;
30     for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d%d%d",&Y[i],&X[i],&C[i]),M[make_pair(X[i],Y[i])]=i;
31     for(int i=1;i<=n;++i)con(i<<1,i<<1|1,C[i]);
32     for(int i=1;i<=n;++i)if(!knd(X[i],Y[i]))con(0,i<<1,inf);
33         else for(int j=0;j<4;++j)if(M[make_pair(tx,ty)]&&knd(tx,ty)==knd(X[i],Y[i])-1)con(M[make_pair(tx,ty)]<<1|1,i<<1,inf);
34     for(int i=1;i<=n;++i)if(knd(X[i],Y[i])==3)con(i<<1|1,1,inf);
35     while(bfs())ans+=dfs(0,inf);printf("%d\n",ans);
36 }
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线性代数

解出来，发现式子的含义就是$\sum\limits A_i \times A_j \times B_{i,j} - \sum\limits C_i \times A_i$

选一个数付出C代价，同时选得到B收益。

暴力。

网络流初步(2)
 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 using namespace std;
 4 #define M 40000000
 5 int n,fir[255555],l[1555555],to[1555555],v[1555555],q[1555555],d[1555555],E,pc,ec=1;
 6 int B[555][555],C[555],ans;
 7 void link(int a,int b,int V){l[++ec]=fir[a];fir[a]=ec;to[ec]=b;v[ec]=V;}
 8 void con(int a,int b,int V){link(a,b,V);link(b,a,V);}
 9 bool bfs(){
10     for(int i=1;i<=E;++i)d[i]=0;
11     for(int h=1,t=1;h<=t;++h)for(int i=fir[q[h]];i;i=l[i])if(v[i]&&!d[to[i]])
12         d[q[++t]=to[i]]=d[q[h]]+1;
13     return d[E];
14 }
15 int dfs(int p,int flow){
16     int r=flow;if(p==E)return flow;
17     for(int i=fir[p];i&&r;i=l[i])if(v[i]&&d[to[i]]==d[p]+1){
18         int x=dfs(to[i],min(v[i],r));
19         if(!x)d[to[i]]=0;
20         v[i]-=x;v[i^1]+=1;r-=x;
21     }return flow-r;
22 }
23 int main(){
24     scanf("%d",&n);pc=n;E=n*n+n+1;
25     for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1,x;j<=n;++j)scanf("%d",&B[i][j]),ans+=B[i][j];
26     for(int i=1,x;i<=n;++i)scanf("%d",&x),con(0,i,x);
27     for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)link(i,++pc,M),link(j,pc,M),link(pc,E,B[i][j]);
28     while(bfs())ans-=dfs(0,M);printf("%d\n",ans);
29 }
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优化建边。

网络流初步(2)
 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 using namespace std;
 4 #define M 40000000
 5 #define E n+1
 6 int n,fir[255555],l[1555555],to[1555555],v[1555555],q[1555555],d[1555555],ec=1;
 7 int B[555][555],C[555],ans,b[555];
 8 void link(int a,int b,int V){l[++ec]=fir[a];fir[a]=ec;to[ec]=b;v[ec]=V;}
 9 void con(int a,int b,int V){link(a,b,V);link(b,a,V);}
10 bool bfs(){
11     for(int i=1;i<=E;++i)d[i]=0;
12     for(int h=1,t=1;h<=t;++h)for(int i=fir[q[h]];i;i=l[i])if(v[i]&&!d[to[i]])
13         d[q[++t]=to[i]]=d[q[h]]+1;
14     return d[E];
15 }
16 int dfs(int p,int flow){
17     int r=flow;if(p==E)return flow;
18     for(int i=fir[p];i&&r;i=l[i])if(v[i]&&d[to[i]]==d[p]+1){
19         int x=dfs(to[i],min(v[i],r));
20         if(!x)d[to[i]]=0;
21         v[i]-=x;v[i^1]+=1;r-=x;
22     }return flow-r;
23 }
24 int main(){
25     scanf("%d",&n);
26     for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1,x;j<=n;++j)scanf("%d",&B[i][j]),ans+=B[i][j],b[i]+=B[i][j];
27     for(int i=1,x;i<=n;++i)scanf("%d",&x),con(0,i,x),con(i,E,b[i]);
28     for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)con(i,j,B[i][j]);
29     while(bfs())ans-=dfs(0,M);printf("%d\n",ans);
30 }
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