AcWing 91 最短Hamilton路径

题目描述

给定一张 n个点的带权无向图，
点从 0∼n−1 标号，求起点 0 到终点 n−1 的最短 Hamilton 路径。

Hamilton 路径的定义是从 0 到 n−1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式

第一行输入整数 n
接下来 n 行每行 n 个整数，
其中第 i 行第 j 个整数表示点 i 到 j 的距离（记为 a[i,j]）。

对于任意的 x,y,z，
数据保证 a[x,x]=0
a[x,y]=a[y,x]
并且 a[x,y]+a[y,z]≥a[x,z]

输出格式

输出一个整数，表示最短 Hamilton 路径的长度。

数据范围

1≤n≤20

0≤a[i,j]≤107

输入样例：

5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0

输出样例：

18

解题思路

根据题意，每图中每一个点都需要经过一次
所以可以用一种暴力的方法——数的全排列
数的全排列方法时间复杂度 \(O(n\times n!)\)
很显然，是不行的
而看下面几个全排列
\(1 2 3 4 ...\)
\(1 3 2 4 ...\)
可以发现这两个全排列都经过了1234这四个数
并且最后都在4上
所以这里可以进行剪枝判断
使用一个状态压缩数组
\(f[i][j]\)
其中i是一个二进制数
表示图的状态
经过的为1，未经过的为0
j表示最后的点落在哪里
还需枚举j是从哪个点过来的
状态转移方程为：
$ f[i][j]=min(f[i][j], f[i\wedge 1<<j][k]+w[k][j]) $
其中注意位运算比逻辑异或运算优先级高

解题代码

#include <iostream>
#include <memory.h>
using namespace std;
const int N = 21;
int n,w[N][N],f[1<<N][N];
int main() {
    cin >> n;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            cin >> w[i][j];
    memset(f, 0x3F, sizeof(f)); // 初始数组全为无穷大
    f[1][0]=0; // 初始从起点开始为0
    for(int i=1;i<1<<n;i++) // 枚举状态
        for(int j=0;j<n;j++) if(i>>j&1) // j必须走过 
            for(int k=0;k<n;k++) if((i^1<<j)>>k&1) // j不等于k并k走过 
                f[i][j]=min(f[i][j], f[i^1<<j][k]+w[k][j]); // 状态转移方程
    cout << f[(1<<n)-1][n-1];
}