正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF809D

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正题

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题目大意

有一个长度为\(n\)的序列\(a\)，要求\(a_i\in[l_i,r_i]\)，要求使得\(a\)的最长严格上升子序列最长。

\(1\leq n\leq 3\times 10^5,1\leq l_i\leq r_i\leq 10^9\)

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解题思路

考虑一下暴力的做法，我们设\(f_i\)表示在目前的序列中后面加个数字\(i\)为结尾时的最长上升子序列，那么显然\(f\)是单调不降的。

同理由于是严格上升，所以我们\(f\)不可能一次升\(2\)的值，也就是\(f_i\leq f_{i-1}+1\)。所以我们可以考虑维护\(f_i=f_{i-1}+1\)的位置，也就是维护\(f\)的差分数组中的\(1\)的位置。

考虑新加入一个\([l,r]\)时的变化，那对于所有\(i\in[l+1,r+1]\)都有\(f_i=max\{f_i,f_j+1\}(j<i)\)，注意到\(1\)位置的变化我们可以得出一下结论，当修改\([l,r]\)时需要

1. 将\([l+1,r]\)中所有\(1\)的后面那个\(1\)移动到这个\(1\)的后一位。
2. 将\([l+1,r]\)中的第一个\(1\)移动到\(l+1\)处

这个操作看起来很难实现，实际上我们可以将第一个视为将\([l+1,r+1]\)中的\(1\)往后移一格。

我们用FhqTreap维护\(1\)的位置，然后把\((r,\infty)\)中第一个\(1\)删除，\([l+1,r]\)中的所有\(1\)往后移一格，再在\(l+1\)这个位置插一个\(1\)就好了。

时间复杂度：\(O(n\log n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=3e5+10;
int n,cnt,rt,w[N],dat[N],lazy[N],siz[N],t[N][2];
void Downdata(int x){
	if(!lazy[x])return;
	for(int i=0;i<2;i++){
		if(!t[x][i])continue;
		lazy[t[x][i]]+=lazy[x];
		w[t[x][i]]+=lazy[x];
	}
	lazy[x]=0;return;
}
int NewNode(int val){
	siz[++cnt]=1;dat[cnt]=rand();
	w[cnt]=val;return cnt;
}
void PushUp(int x){
	siz[x]=siz[t[x][0]]+siz[t[x][1]]+1;
	return;
}
void Split(int &x,int &y,int p,int k){
	if(!p){x=y=0;return;}Downdata(p);
	if(w[p]<=k)x=p,Split(t[x][1],y,t[p][1],k);
	else y=p,Split(x,t[y][0],t[p][0],k);
	PushUp(p);return;
}
int Merge(int x,int y){
	Downdata(x);Downdata(y);
	if(!x||!y)return x|y;
	if(dat[x]<dat[y]){
		t[x][1]=Merge(t[x][1],y);
		PushUp(x);return x;
	}
	else{
		t[y][0]=Merge(x,t[y][0]);
		PushUp(y);return y;
	}
	return x|y;
}
int Findk(int x,int k){
	if(siz[t[x][0]]>=k)return Findk(t[x][0],k);
	if(siz[t[x][0]]+1==k)return x;
	return Findk(t[x][1],k-siz[t[x][0]]-1);
}
int main()
{
//	freopen("vague.in","r",stdin);
//	freopen("vague.out","w",stdout);
	srand(19260817);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1,l,r;i<=n;i++){
		scanf("%d%d",&l,&r);
		int x,y,z;l++;
		Split(x,y,rt,l-1);
		Split(y,z,y,r);
		if(z){
			int v=w[Findk(z,1)],nu;
			Split(nu,z,z,v);
		}
		if(y)lazy[y]++,w[y]++;
		y=Merge(NewNode(l),y);
		y=Merge(y,z);
		rt=Merge(x,y);
	}
	printf("%d\n",siz[rt]);
	return 0;
}