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至少有两种非平稳时间序列：具有趋势的时间序列和具有单位根的时间序列（称为单整时间序列）。单位根检验不能用来评估时间序列是否平稳。它们只能检测单整时间序列。季节性单位根也是如此。

这里考虑月平均温度数据。

1.   > mon=read.table("temp.txt")
2.    
3.   > plot(mon)

现在，我们可以计算所有年份的三个不同平稳性检验的p值

 

1.   for(y in 1955:2013){
2.   Temp[which(Year==y)]
3.   as.numeric(pp.test(Zc)$p.value)
4.   as.numeric(kpss.test(Zc)$p.value)
5.   as.numeric(adf.test(Zc)$p.value)

从图像上看，如果红色表示非平稳，蓝色表示平稳，我们得到

polygon(y,col=CL[1+(D[y-1954,i]==1)*5],border=NA)}}

可以看到大部分序列在5%显著性水平下无法拒绝原检验说明序列非平稳。

冬天和夏天的温度是完全不同的。我们可以来可视化：

1.    
2.   > plot(month,(tsm))
3.   > lines(1:12,apply(M,2,mean

 

或者

   plot(tsm)

 

 

> 3D(tsm)

看起来我们的时间序列是周期性的，因为每年都是季节性的。自相关函数：

 

 

现在的问题是有季节性单位根吗?这说明我们的模型应该是

如果我们忘记了自回归和移动平均分量，我们可以估计

如果有季节性单位根，那么应该接近1。

1.    
2.   arima(x = tsm, order = c(0, 0, 0), seasonal = list(order = c(1, 0, 0), period = 12))
3.    
4.   Coefficients:
5.   sar1 intercept
6.   0.9702 6.4566
7.   s.e. 0.0071 2.1515

和1差不多。实际上，它不能太接近1。如果是的话，我们会收到一条错误信息…
为了说明模型，让我们考虑季度温度，

sp(1:4,N,theta=-50,col="yellow",shade=TRUE,

 

 

VAR季度温度模型

VAR模型描述在同一样本期间内的n个变量（内生变量）可以作为它们过去值的线性函数。

一个VAR(p)模型可以写成为：

其中：c是n × 1常数向量，Ai是n × n矩阵。et是n × 1误差向量，满足：

1.  —误差项的均值为0
2.  —误差项的协方差矩阵为Ω（一个n × 'n正定矩阵）
3.  （对于所有不为0的k都满足）—误差项不存在自相关

 

其中A是4X4矩阵。这个模型很容易估计

model=VAR(df)

矩阵A在这里

1.   > A=rbind(
2.   + coefficients(varresult$y1)[1:4],
3.   + coefficients(varresult$y2)[1:4],
4.   + coefficients(varresult$y3)[1:4],
5.   + coefficients(varresult$y4)[1:4])
6.    

由于这个多时间序列的平稳性与这个矩阵的特征值密切相关，我们来看一下，

1.   > eigen(A)
2.   [1] 0.35834830 -0.32824657 -0.14042175 0.09105836
3.   > Mod(eigen(A)
4.   [1] 0.35834830 0.32824657 0.14042175 0.09105836

周期自回归(PAR)模型

看起来这里不存在平稳性问题。有限制的模型称为周期自回归模型，被称为  模型

其中

并且

这是一个VAR(1) 模型，因此

可以来估计这个模型

1.   par(wts=tsq, type="PAR", p=1)
2.   > PAR(model)

特征方程为

所以有一个(季节性的)单位根，如果

但在这里显然不是这样。可以进行 Canova Hansen(CH)检验。Canova Hansen(CH)检验主要用于检验季节差异并验证零假设,即季节性模式在采样期内是稳定的或随时间而变化。 

检验的输出在这里

> CH.test(tsm)

看起来我们拒绝了季节性单位根的假设。我提到以下检验程序

1.   > nsdiffs(tsm, test="ch")
2.   [1] 0

其中输出:“1”表示有一个季节单位根，“0”表示没有季节单位根。读起来很简单，不是吗?如果我们考虑每月数据的周期自回归模型，输出是

> model

所以，不管是什么检验，我们总是拒绝有季节性单位根的假设。这并不意味着我们的序列不能是周期性的！实际上，这个序列几乎是周期性的。但是没有单位根！所以所有这些都是有意义的。

为了确保我们得到的是正确的，考虑两个时间序列。第一个是周期序列(有非常小的噪声)，第二个是单整序列。

1.   > p1=Xp2=as.numeric(t(M))
2.   > for(t in 13:length(M)){
3.    
4.   + p2[t]=Xp2[t-12]+rnorm(1,0,2)
5.    

 

 

查看

1.   3D(tsp1)
2.   3D(tsp2)

 

如果我们快速地看一下这些序列，我会说第一个没有单位根-即使它不是平稳的，但这是因为这个序列是周期性的-而第二个有单位根。如果我们看一下 Canova Hansen(CH)检验，我们会得到

> CH.test(tsp1)

考虑一下

1.   > nsdiffs(tsp1, 12,test="ch")
2.   [1] 0
3.   > nsdiffs(tsp2, 12,test="ch")
4.   [1] 1

这里我们有相同的结论。第一个没有单位根，但是第二个有单位根。用Osborn-Chui-Smith-Birchenhall检验

1.   > nsdiffs(tsp1, 12,test="ocsb")
2.   [1] 1
3.   > nsdiffs(tsp2, 12,test="ocsb")
4.   [1] 1

在我们的周期序列中也有一个单位根。

所以在这里，在低频上，我们拒绝在我们的温度序列中有单位根的假设，甚至是季节性的单位根。

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