柯西不等式。

均值不等式。

Q1：

\(\dfrac{n}{2}\)。
明显第二个条件珂以看作\(=\)。
考虑\(n=3\)。
\(ans=x_0x_2+x_1x_3\)
\(x_0=(1-x1-x2)\)
\(ans=x_2(1-x_1-x_2)+x_1(1-x_1-x_2)\)
\(ans=(x1+x2)(1-x1-x2)\)
\(ans\)是关于\(x1+x2\)的二次函数\(=-T^2+T\)，在\(T=\dfrac{1}{2}\)时取到\(\max,\dfrac{1}{4}\)
考虑分组。一共\(4n\)个乘积，如上，分成\(2n\)组，每组\(\dfrac{1}{4}\)，\(\max ans=\dfrac{1}{4}\times 2n=\dfrac{n}{2}\)。
Q2：
考虑均值不等式。
他小于算术平均数，即 \(10\)。
但是那是取不到的。
明显\(10,10,10\)是最优的。但是不允许。
调整为\(9,11,9,11\)。可证为最优。
答案为\(3\sqrt{11}\)。
Q3:
是求最小值。
\(f(x)=(x+x_1)(x+x_2)(x+x_3)……\)（有\(x\)个实数根）
因为常数\(=1\)，\(\prod x_i=1\)
根据均值不等式，\((x+x_i)\ge(x+1)\sqrt[x+1]{x_i\times1\times1……}=\sqrt[x+1]{x_i}\)
\(f(x)\ge(x+1)^n\sqrt[x+1]{\prod x_i}=(x+1)^n\)
Q4:

要求\(O(\log n)\)。
有拉格朗日/牛顿插值法，但时间复杂度高、我不会。
设\(g(x)=xf(x)-1\)易得\(\forall i\in[1,n+1],g(i)=0\)
故\(1,2,3……n+1\)事\(g\)的根。\(g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)……(x-n-1)\times C\)。
常数为\(-1\)。
\(\therefore C\times(-1)^{n+1}\times(n+1)!=-1\)
\(C=\dfrac{(-1)^n}{(n+1)!}\)
\(g(x)=\dfrac{(-1)^n}{(n+1)!}(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)……(x-n-1)\)、
当\(x=n+2\)时，\(g(x)=\dfrac{(-1)^n}{(n+1)!}(n+1)!=(-1)^n\)
\(\therefore f(n+2)=\dfrac{(-1)^n-1}{n+2}\)
数列。

搞来的特征方程qaq

数学推导