基于李雅普诺夫函数的跟踪控制
前言
本系列将会介绍基于李雅普诺夫函数的跟踪控制问题，以多个不同的例子来具体说明，如何根据李雅普诺夫函数来求解控制律，实现跟踪控制。总共分为7篇博客讲解，分别针对不同的情况。
跟踪控制—系列博客总览
- 一阶时不变系统，系统已知，且无扰动
- 一阶时不变系统，系统已知，有扰动
- 高阶时不变系统，系统已知，且无扰动
- 一阶时不变系统，系统部分已知，且无扰动
- 一阶时变系统，系统部分已知，且无扰动
- 一阶时变系统，系统部分未知，且有扰动
- 一阶时不变系统，系统完全未知，且无扰动
本期讲解的是一阶时不变系统，系统已知，且无扰动的情况。
问题描述
已知系统
x
˙
=
f
(
x
)
+
u
(1)
\dot x=f(x)+u \tag{1}
x˙=f(x)+u(1)
其中，
f
(
x
)
f(x)
f(x)已知，求解
u
u
u使得
x
x
x跟踪
x
d
x_d
xd。
求解
设误差及其导数
e
(
t
)
=
x
d
(
t
)
−
x
(
t
)
(2)
e(t)=x_d(t)-x(t) \tag{2}
e(t)=xd(t)−x(t)(2)
e
(
t
)
˙
=
x
d
(
t
)
˙
−
x
(
t
)
˙
=
x
d
(
t
)
˙
−
f
(
x
)
−
u
(3)
\dot {e(t)}=\dot{x_d(t)}-\dot{x(t)} = \dot{x_d(t)}- f(x)-u \tag{3}
e(t)˙=xd(t)˙−x(t)˙=xd(t)˙−f(x)−u(3)
取李雅普诺夫函数:
V
=
1
2
e
2
(4)
V = \frac{1}{2}e^2 \tag{4}
V=21e2(4)
则，
V
˙
=
e
(
e
˙
)
=
e
(
x
d
(
t
)
˙
−
f
(
x
)
−
u
)
(5)
\dot V = e(\dot e)=e( \dot{x_d(t)}- f(x)-u) \tag{5}
V˙=e(e˙)=e(xd(t)˙−f(x)−u)(5)
如果 V V V是一个单调递减的函数，那么随着时间推移， V V V将会一直下降，同时 V V V是满足 V > = 0 V >=0 V>=0,所以 V V V就会一直趋近于0，所以根据这个思想，令：
x d ( t ) ˙ − f ( x ) − u = − k e (6) \dot{x_d(t)}- f(x)-u=-ke \tag{6} xd(t)˙−f(x)−u=−ke(6)
则可以得到：
V ˙ = − k e 2 (7) \dot V = -ke^2 \tag{7} V˙=−ke2(7)
u ( t ) = x d ( t ) ˙ − f ( x ) + k e (8) u(t) = \dot{x_d(t)}- f(x)+ke \tag{8} u(t)=xd(t)˙−f(x)+ke(8)
再次说明，基于以上的控制 u ( t ) u(t) u(t)， V V V则是一个单调递减的函数，当 e ≠ 0 e \neq 0 e=0时，V就一直下降，即e下降，直到 e = 0 e=0 e=0。