1.简介
A* (A-Star) 算法一种静态路网中求解最短路径最有效的方法之一, 是一种常用的启发式算法.
启发式算法：通过启发函数(heruistic)计算出键值, 引导算法的搜索方向.
2. 算法描述
Ray Wenderlich - Introduction to A* Pathfinding
此文非常好的介绍了A*算法的逻辑及其中的关键点, 而且英文通俗易懂, 因此本文并不会详细的翻译此篇博文.
简单说来, A*算法是从起点开始, 通过对相邻可到达点的键值计算以及和其它可选点的键值对比, 从中选出最小键值的点, 然后继续计算此点的相邻点的键值, 直到抵达终点. 想象如同一个石子落入水中, 水的波纹外扩散, 一圈一圈的波纹可看作键值相同的点. A*算法并不需要遍历所有的点, 相反, 如果启发函数即当前点距离估计与实际值越接近, A*算法即会沿最短路径向终点移动, 避免遍历键值高的点.
因此算法关键在于利用OPEN和CLOSE列表记录访问点的情况以及如何计算键值
2.1 OPEN和CLOSE列表
OPEN列表: 所有正在被考虑的备选点列表, 此表并不是所有的点的列表, 而是A*算法在计算相邻点时, 可到达的点.
CLOSE列表: 所有访问过的点列表.
当从所有相邻可到达点中选中最小键值的点, 此点则放入CLOSE列表, 其余的点则放入OPEN列表.
2.2 键值计算 F = G+H
G值: 代表从起点到当前点的代价
H值: 代表从当前点到终点的代价, 由于从当前点出发, 并不知道最终会如何抵达终点, 所以此值为启发函数估计的值.
需要注意的是, 如果当计算相邻点(相邻点已在OPEN中)的键值F小于已存储的键值, 代表有更好的路径到达相邻点, 那么需要更新相邻点的键值以及G值.
2.3 H (heuristic)
以h(n)表达状态n到目标状态估计的距离, h*(n) 代表实际距离，那么h(n)的选取大致有如下三种情况：
-
如果h(n)< h*(n)，这种情况，搜索的点数多，搜索范围大，效率低。但能得到最优解。
-
如果h(n)=h*(n)，此时的搜索效率是最高的。
-
如果 h(n)>h*(n)，搜索的点数少，搜索范围小，效率高，但不能保证得到最优解。
通常的启发式函数可以有曼哈顿距离, 对角线距离, 欧几里得距离等等, 或者根据实际情况建立启发式方程.
堪称最好最全的A*算法详解（译文) 此博文对于启发式函数的选择有更深入的讨论.
曼哈顿距离
h(n) = D*(abs(a.x - b.x ) + abs(a.y - b.y ))
对角线距离
h(n) = D*max(abs(a.x - b.x), abs(a.y - b.y))
欧几里得距离
h(n) = D*sqrt((a.x - b.x)^2 + (a.y - b.y)^2)
注意启发式函数选择和如何抵达相邻的点也有关系, 比如如果只能上下左右移动到达相邻的点, 那么对角线距离的选择就是不合适的.
2.4 算法循环退出条件:
1) 找到一条从起点到终点的最短路径
2) 遍历所有点无法找到路径 (OPEN列表最终为空)
3. 举例
寻找下图中从(7, 3) 到(7, 13) 的最短路径
4. Python代码实现
import numpy as np
import heapq
import matplotlib.pyplot as plt
import time
# def heuristic(a, b):
# return np.sqrt((b[0] - a[0]) ** 2 + (b[1] - a[1]) ** 2)
def heuristic(a, b):
return abs(a[0]-b[0]) + abs(a[1]-b[1])
def astar(array, start, goal):
close_set = set()
parent_from_dict = {}
gscore = {start: 0}
fscore = {start: heuristic(start, goal)}
open_list = []
heapq.heappush(open_list, (fscore[start], start))
while open_list:
current = heapq.heappop(open_list)[1] # return the smallest value
if current == goal:
route_loc = []
while current in parent_from_dict:
route_loc.append(current)
current = parent_from_dict[current]
# append start point to route and reorder route backward to get correct node sequence
route_loc = route_loc + [start]
route_loc = route_loc[::-1]
return route_loc, close_set, open_list
close_set.add(current)
for i, j in neighbor_direction:
neighbor = current[0] + i, current[1] + j
tentative_g_score = gscore[current] + heuristic(current, neighbor)
if 0 <= neighbor[0] < array.shape[0]:
if 0 <= neighbor[1] < array.shape[1]:
if array[neighbor[0]][neighbor[1]] == 1:
# print('neighbor %s hit wall' % str(neighbor))
continue
else:
# array bound y walls
# print('neighbor %s hit y walls' % str(neighbor))
continue
else:
# array bound x walls
# print('neighbor %s hit x walls' % str(neighbor))
continue
if neighbor in close_set and tentative_g_score >= gscore.get(neighbor, 0):
continue
if tentative_g_score < gscore.get(neighbor, 0) or neighbor not in [i[1] for i in open_list]:
parent_from_dict[neighbor] = current
gscore[neighbor] = tentative_g_score
fscore[neighbor] = tentative_g_score + heuristic(neighbor, goal)
heapq.heappush(open_list, (fscore[neighbor], neighbor))
return None, close_set, open_list
def plot(layout, path=None, close_set=None, open_set=None):
fig, ax = plt.subplots(figsize=(20, 20))
ax.imshow(layout, cmap=plt.cm.Dark2)
ax.scatter(start[1], start[0], marker="o", color="red", s=200)
ax.scatter(goal[1], goal[0], marker="*", color="green", s=200)
if path:
# extract x and y coordinates from route list
x_coords = []
y_coords = []
for k in (range(0, len(path))):
x = path[k][0]
y = path[k][1]
x_coords.append(x)
y_coords.append(y)
ax.plot(y_coords, x_coords, color="black")
if close_set:
for c in close_set:
ax.scatter(c[1], c[0], marker='o', color='green')
if open_set:
for p in open_set:
loc = p[1]
ax.scatter(loc[1], loc[0], marker='x', color='blue')
ax.xaxis.set_ticks(np.arange(0, layout.shape[1], 1))
ax.yaxis.set_ticks(np.arange(0, layout.shape[0], 1))
ax.xaxis.tick_top()
plt.grid()
plt.show()
if __name__ == '__main__':
# neighbor_direction = [(0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0), (1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)]
neighbor_direction = [(0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0)]
S = np.array([
[1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1],
[0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0],
[1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0],
[0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1],
[0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0],
[0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1],
[0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1],
[0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1],
[1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0],
[1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0],
[0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1],
[1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0],
[1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0],
])
start = (7, 3)
goal = (7, 17)
# S[(7, 12)] = 1
# S[(7, 15)] = 1
t_start = time.perf_counter()
route, c_set, open_l = astar(S, start, goal)
t_end = time.perf_counter()
print(f"astar finished in {t_end - t_start:0.4f} seconds")
if route:
print(route)
plot(S, route, c_set, open_l)
else:
plot(S, None, c_set, open_l)从上图可以发现, 算法仅仅计算了图中非常少的一些点即找到了终点(绿色"o"代表CLOSE里的点, 蓝色"x"代表OPEN里的点)
上图为当(7,12)有障碍后的最短路径, 这时可已看出A*算法计算的点大大超过无障碍的情况, 但算法始终有效的没有遍历所有的点.
上图为当A*算法无法找路径的情况, 可以看出算法遍历了所有可能经过的点(绿色"o"代表CLOSE里的点).
4. 算法总结
A*算法能够快速的寻找到从起点到终点的路径, 而且通过不同的启发式函数, 能控制决定是否一定要得到最短路径或者一个次优路径, 当计算时间非常长的情况下.