Problem Description

Give a number n, find the minimum x(x>0) that satisfies 2^x mod n = 1.

 

Input

One positive integer on each line, the value of n.

 

Output

If the minimum x exists, print a line with 2^x mod n = 1.



Print 2^? mod n = 1 otherwise.



You should replace x and n with specific numbers.

 

Sample Input

2

5

 

Sample Output

2^? mod 2 = 1

2^4 mod 5 = 1

 

Author

MA, Xiao

 

做为一个ACMer，还是好好看看上面的百度百科吧。挺实用的

依据模P乘法逆元：对于整数a、p假设存在整数b，满足a*b mod p=1则称b是a的模P乘法逆元。

a存在模P的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p)=1。令a=2^x。b=1。p=n

则若存在x使用2^x mod n=1则gcd(2^x,n)=1

(1)由于要求x的值大于0。

则2^x的因子中仅仅有一个2,所以当n为偶数时gcd(2^x,n)=2k(k=1,2,3...)。即此时不存在x使得2^x mod n=1。

(2)当n为奇数时gcd(2^x,n)=1。则必存在x使得2^x mod n=1。

(3)因为不论什么数模1的结果为0，所以当n=1时，不管x取何值，2^x mod n=0.

综合上述(1),(2),(3)。当n的值为1或偶数时，不存在x使得2^x mod n=1。其他情况则必存在一x使得2^x mod n =1。

代码：

#include <stdio.h>

int main()

{

	int n ;

	while(~scanf("%d",&n))

	{

		if(n==1 || n%2==0)

		{

			printf("2^? mod %d = 1\n",n);

		}

		else

		{

			int j = 1, mi=2;

			while(true)

			{

				mi %= n ;

				if(mi == 1)

				{

					printf("2^%d mod %d = 1\n",j,n) ;

					break ;

				}

				mi *= 2 ;

				++j ;

			}

		}

	}

	return 0 ;

}

与君共勉