集合的概念
集合是德国数学家 格奥尔格·康托尔 在 1874 年首先提出，是数学中最基本的概念之一。集合是由我们直观感觉或意识到的、确定的、不同的对象汇集而成的整体，而这些对象成为集合的元素。一般用大写字母 A, B, C……表示集合，小写字母 a, b, c……表示集合中的元素，当然元素也可以是任何其他事物。而数学研究的是数集。
常见的数集：
- \(N\)：自然数集（自然数英文
Natural Number的首字母） - \(N*\)：正整数集
- \(Z\)：整数集（德国女数学家
Zahlen的首字母） - \(Q\)：有理数集（商
Quotient的首字母） - \(R\)：实数集：（
Real Number的首字母） - \(C\)：复数集（
Complex Number的首字母）
只有一个元素的集合，成为单点集；含有有限个元素的集合，称为有限集；含有无限个元素的集合，称为无限集；没有任何元素的集合，称为空集，记作 \(\emptyset\)。
初等数学研究的主要是有限集和单点集，而高等数学研究的是无限集。
集合的表示方法
- 列举法：将元素用逗号分隔，一一列举在大括号内，如：\(\{1,2,3\}\)、\(\{0,1,2,3,···,99\}\)。
- 描述法：用形如 \(\{x|x 具有特质P\}\)来表示：如：\(\{x|x<5, x \in R\}\)。
常见的例子：
- 集合 A=\(\{x|2n, n \in Z\}\)，表示偶数组成的集合；
- 集合 B=\(\{(x,y)|x>0, y>0\}\)，表示直角坐标系中第一象限的点组成的集合。
集合中元素的基本特性
- 确定性：集合中的元素要确定的，例如：一班高个子的男生，这就是不确定的；应该明确说一班180cm以上的男生，这就是确定的。
- 无序性：集合中的元素是没有顺序的，例如：集合\(\{1,2,3\}\) 和 集合 \(\{2,1,3\}\) 是同一个集合。
- 互异性：集合中的元素是不重复的，例如：集合\(\{1,2,3\}\) 和 集合 \(\{1,2,2,3\}\) 是同一个集合。
元素与集合的关系
若元素 a 是集合 A 中的元素，则 a 属于 A，记作 \(a\in A\)；反之，\(a \notin A\)。
集合之间的关系
子集
如果集合 A 的所有元素都是集合 B 的元素，则 A 是 B 的子集，记作 \(A \subseteq B\) 或 \(B \supseteq A\)，读作 A 包含于 B 或 B 包含 A；
子集的性质：
- 任何一个集合都是它本身的子集；\(A \subseteq A\)；
- 空集是任何集合的子集；\(\emptyset \subseteq A\)；
- 若集合 A 是集合 B 的子集，集合 B 是集合 C 的子集，则 A 是 C 的子集（若 \(A \subseteq B, B \subseteq C, 则 A \subseteq C\)）；
真子集
如果集合 A 是集合 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于 A，则A 是 B 的真子集，记作 \(A \subsetneqq B\) 或 \(B \supsetneqq A\)，读作 A 真包含于 B 或 B 真包含 A。
真子集的性质：
- 空集是任何集合的真子集；
- 若集合 A 是集合 B 的真子集，集合 B 是集合 C 的真子集，则 A 是 C 的真子集（若 \(A \subsetneqq B, B \subsetneqq C, 则 A \subsetneqq C\)）；
集合相等
若\(A \subseteq B\)，且 \(B \subseteq A\)，则 \(A=B\)；例如：\(A = \{x|x^2=1\}, B = \{-1, 1\}, 结果 A = B\)。
集合相等有一个著名的罗素悖论，公理化集合论的成功建立，才排除了这个悖论，当然这是高等数学研究的范畴。
集合的运算
交集
既属于集合 A，又属于集合 B 的公共元素组成的集合，叫做 A 与 B 的交集，记作 \(A \cap B\)，即： \(A \cap B=\{x|x \in A 且 x \in B\}\)。
交集的推论：
- \(A \cap B = B \cap A\)；
- \(A \cap A = A\)；
- \(A \cap \emptyset = \emptyset\)；
- 若 \(B \subset A\)，则 \(B \cap A = B\)；
用交集表示一个二元一次方程：设 \(A=\{x|(x,y)|x+y=0\}\)，\(B=\{(x,y)|x-y=4\}\)，\(A \cap B = \{(x,y)|x=2,y=-2\}\)。
一切数学成果可建立在集合论基础上。
并集
集合 A 与集合 B 所有元素组成的集合，叫做 A 与 B 的并集，记作 \(A \cup B\)，即：\(A \cup B=\{x|x \in A 或 x \in B\}\)。
并集的推论：
- \(A \cup B = B \cup A\)；
- \(A \cup A = A\)；
- \(A \cup \emptyset = A\)；
- \(A \cup B \supseteq A， A \cup B \supseteq B\)；
- 若 \(B \subseteq A\)，则 \(A \cup B = A\)；
差集
由属于集合 A，且不属于集合 B 的元素组成的集合，叫做 A 减 B（A 与 B 之差），记作 \(A \setminus B = \{x|x \in A 且 x \notin B\}\)。
全集
全集是一个相对的概念，在研究某些集合时，这些集合常常是一个给定集合的子集，这个给定的集合就叫全集。
补集
如果集合 A 是全集 U 的子集，那么由属于 U 且不属于 A 的元素组成的集合，叫做 A 在 U 中的补集，记作 \(\complement_UA\)，也常常简化称 A 的补集（余集），记作 \(A^\complement\)。
补集推论：
- \(A \cap A^\complement = \emptyset\)；
- \(A \cup \complement_UA = U\)；
- \(\complement_U(\complement_UA)=A\)（A 的补集的补集）；
补集与差集：
补集可以由差集转换而来：若 \(A \subseteq U\)，则 \(A^\complement = U \setminus A = \{x \in U | x \notin A\}\)；
集合运算的规律
交换律
\[A \cap B = B \cap A \\ A \cup B = B \cup A \\ \]结合律
\[(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) \\ (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \\ \]分配率
\[A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \\ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \\ \]德摩根法则
\[(A \cup B)^\complement = A^\complement \cap B^\complement \\ (A \cap B)^\complement = A^\complement \cup B^\complement \\ \]