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再简单的问题，也需要认真推导！
直线方程
- 点斜式： y − y 0 = k ( x − x 0 ) y - y_0 = k(x-x_0) y−y0=k(x−x0)
- 斜距式： y = k x + b y=kx+b y=kx+b
- 两点式： x − x 1 x 2 − x 1 = y − y 1 y 2 − y 1 \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} x2−x1x−x1=y2−y1y−y1 （不包括垂直坐标轴直线）
- 截距式： x a + y b = 1 \frac{x}{a} + \frac{y}{b}=1 ax+by=1
- 一般式： A x + B y + C = 0 Ax+By+C=0 Ax+By+C=0 （AB不同时为0）
- 已知直线上两点
P
1
(
x
1
,
y
1
)
P_1(x_1,y_1)
P1(x1,y1) 和
P
2
(
x
2
,
y
2
)
P_2(x_2,y_2)
P2(x2,y2)，和直线外一点
P
3
(
x
3
,
y
3
)
P_3(x_3,y_3)
P3(x3,y3)
- 求投影点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0(x0,y0) 坐标
- 求点和直线位置关系
点在直线投影
直线求交点
$$
P_1P_2: y=k_{12}x+b_{12} \
P_0P_3: y=k_{03}x+b_{03} \
\begin{cases}
x_1,x_1 = x_2 \
y_1,y_1 = y_2 \
x = \frac{b_{03} - b_{12}}{k_{12} - k_{03}},other
\end{cases}
$$
def cal_proj1(P1, P2, P3):
if P1[0] == P2[0]:
x = P1[0]
y = P3[1]
elif P1[1] == P2[1]:
x = P3[0]
y = P1[1]
else:
k_12 = (P2[1]-P1[1]) / (P2[0] - P1[0])
b_12 = P1[1] - k_12 * P1[0]
k_03 = -1/k_12
b_03 = P3[1] - k_03 * P3[0]
x = (b_03 - b_12) / (k_12 - k_03)
y = k_12 * x + b_12
return [x, y]
向量点积
$$
k * \vec{P_{12}} = \vec{P_{10}} \
k = \frac{|\vec{P_{10}}|}{|\vec{P_{12}}|} = \frac{|\vec{P_{13}}| * cos(∠P_3P_1P_2)}{|\vec{P_{12}}|} = \frac{\vec{P_{13}}.\vec{P_{12}}}{|\vec{P_{12}}|^2} \
P_0 = k * \vec{P_{12}} + P_1
$$
def cal_proj2(P1, P2, P3):
P_12 = [P2[0]-P1[0], P2[1]-P1[1]]
P_13 = [P3[0]-P1[0], P3[1]-P1[1]]
k = (P_12[0] * P_13[0] + P_12[1] * P_13[1]) / (math.pow(P_12[0], 2) + math.pow(P_12[1], 2))
x = k * P_12[0] + P1[0]
y = k * P_12[1] + P1[1]
return [x, y]
点和直线关系
- 点在直线上
- 点在直线左右
- 点在直线上下
直线方程
- 求直线方程
- 已知x，求y估计和y关系
- 已知y，求x估计和x关系
def lf_relation_between_line_and_point(P1, P2, P3):
if P1[0] == P2[0]:
if P3[0] == P1[0]:
return 0
elif P3[0] < P1[0]:
return -1 # left
else:
return 1 # right
elif P2[1] - P1[1] == 0:
# 水平无左右？
return 0
else:
k = (P2[1] - P1[1]) / (P2[0] - P1[0])
b = P1[1] - k*P1[0]
x_ = (P3[1] - b) / k
if x_ == P3[0]:
return 0
elif x_ < P3[0]:
return 1
else:
return -1
def tb_relation_between_line_and_point(P1,P2,P3):
if P2[0] - P1[0] == 0:# 垂直无上下？
return 0
k = (P2[1] - P1[1]) / (P2[0] - P1[0])
b = P1[1] - k * P1[0]
y_ = k * P3[0] + b
if y_ == P3[1]:
return 0
elif y_ < P3[1]:
return -1 # bottom
else:
return 1 # up
向量叉积
- 通过它的符号判断两矢量相互之间的顺逆时针关系
若 P × Q > 0 , 则P在Q的顺时针方向。
若 P × Q < 0 , 则P在Q的逆时针方向。
若 P × Q = 0 , 则P与Q共线，但可能同向也可能反向。
- 满足右手螺旋准则
def lf_relation_between_line_and_point2(P1,P2, P3):
if P1[1] == P2[1]:
# 水平无左右
return 0
# 确定vector方向
elif P1[1] > P2[1]:
v1 = [P1[0] - P2[0], P1[1] - P2[1]]
v2 = [P3[0] - P2[0], P3[1] - P2[1]]
elif P1[1] < P2[1]:
v1 = [P2[0] - P1[0], P2[1] - P1[1]]
v2 = [P3[0] - P1[0], P3[1] - P1[1]]
# v1 x v2
A_cross_B = v1[0] * v2[1] - v1[1] * v2[0]
if A_cross_B > 0:
return -1
elif A_cross_B < 0:
return 1
else:
return 0
def tb_relation_between_line_and_point2(P1,P2,P3):
if P1[0] == P2[0]:
# 垂直无上下
return 0
# 确定vector方向
elif P1[0] > P2[0]:
v1 = [P1[0] - P2[0], P1[1] - P2[1]]
v2 = [P3[0] - P2[0], P3[1] - P2[1]]
elif P1[0] < P2[0]:
v1 = [P2[0] - P1[0], P2[1] - P1[1]]
v2 = [P3[0] - P1[0], P3[1] - P1[1]]
# v1 x v2
A_cross_B = v1[0] * v2[1] - v1[1] * v2[0]
if A_cross_B > 0:
return -1
elif A_cross_B < 0:
return 1
else:
return 0