【一.向量范数的几何直观理解】
$\quad$我们知道，一个函数：$f:R^n\mapsto R$f:Rn↦R 被称为$R^n$Rn空间的一个范数,如果它满足以下三条性质：（以下以$\left\|\cdot\right\|$∥⋅∥来代表这个函数）
$\quad$(1)正定性：$\left\|x\right\|\geq0,\forall x\in R^n$∥x∥≥0,∀x∈Rn，且：$\left\|x\right\|=0\Longleftrightarrow x=0;$∥x∥=0⟺x=0;
$\quad$(2)齐次性：$\left\|cx\right\|=|c|\cdot\left\|x\right\|,\forall x\in R^n,c\in R;$∥cx∥=∣c∣⋅∥x∥,∀x∈Rn,c∈R;
$\quad$(3)三角不等式：$\left\|x+y\right\|\leq\left\|x\right\|+\left\|y\right\|,\forall x,y\in R^n;$∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥,∀x,y∈Rn;

$\quad$接下来，我们将从几何角度理解范数：首先，在有一个范数的情况下，我们可以在$R^n$Rn空间中画出一个单位球$S\triangleq \{x|x\in R^n,\left\|x\right\|\leq1\}$S≜{x∣x∈Rn,∥x∥≤1}.为了有一个简单的直观理解，我们给出二维情形下，几个常见范数的单位球图像：

$\quad$这个单位球显然有以下几个性质：
$\quad$(1)关于原点对称，即$\forall x\in S,$∀x∈S,均有$-x\in S;$−x∈S;
$\quad$(2)是一个有界闭集，且零向量0是它的一个内点；
$\quad$(3)是一个凸集：这点由范数满足的三角不等式保证；

$\quad$范数的几何直观理解就是，如果一个非零向量$x$x的端点落在这个单位凸球的边界上，那么$\left\|x\right\|=1$∥x∥=1；否则，如果$ax$ax的端点落在这个单位凸球的边界上，那么$\left\|x\right\|=|\alpha|$∥x∥=∣α∣.

【二.从几何上定义向量范数】
$\quad$一个重要结论是：几何上，一个范数和一个满足以上三个条件的凸球一一对应。也就是说，范数能定义一个单位凸球；反过来，如果有了一个满足以上三条性质的凸集，那么可以唯一定义一个向量范数。

$\quad$假设我们有了一个满足以上三个性质的凸集$C$C，定义一个映射：
$\quad$$\left\|\cdot\right\|_{B}:R^n\mapsto R:\left\|x\right\|=sup\{t\geq 0|tx\in C\}^{-1}$∥⋅∥B​:Rn↦R:∥x∥=sup{t≥0∣tx∈C}−1
$\quad$那么这个映射就是该凸集定义的一个向量范数。

$\quad$哈哈，上面这个式子是否很难理解呢？其实它理解起来很简单，和之前范数的几何理解一样：在我们定义这样一个凸集之后，如果一个非零向量$x$x的端点落在这个凸集的边界上，那么$\left\|x\right\|=1$∥x∥=1；否则，如果$ax$ax的端点落在这个凸集的边界上，那么$\left\|x\right\|=|\alpha|$∥x∥=∣α∣.

$\quad$我们需要证明：这样定义的这个映射满足范数定义中的三条性质，这样才能说这个映射是一个向量范数。
$\quad$证明：
$\quad$(1)正定性：由定义，$\left\|x\right\|_B\geq0,\forall x\in R^n$∥x∥B​≥0,∀x∈Rn自然地满足。由于零向量0是集合$C$C的一个内点，也就是说存在一个0的小领域包含于C，因此显然：$\left\|x\right\|_B=0\Longleftrightarrow x=0;$∥x∥B​=0⟺x=0;
$\quad$(2)齐次性：$\forall x\in R^n,c\in R,$∀x∈Rn,c∈R,
$\left\|cx\right\|_{B}=sup\{t\geq 0|tx\in C\}^{-1}=|c|\cdot sup\{t\geq 0|tx\in C\}^{-1}=|c|\cdot\left\|x\right\|_B$∥cx∥B​=sup{t≥0∣tx∈C}−1=∣c∣⋅sup{t≥0∣tx∈C}−1=∣c∣⋅∥x∥B​
$\quad$(3)三角不等式：
$\quad$设 $x,y\in R^n$x,y∈Rn,如果 $x,y$x,y 都为0，显然三角不等式成立；
$\quad$如果$x ,y$x,y至少有一个不为0，那么:
$\quad$$\frac{x+y}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}=\frac{\left\|x\right\|_B}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}\frac{x}{\left\|x\right\|_B}+\frac{\left\|y\right\|_B}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}\frac{y}{\left\|y\right\|_B}$∥x∥B​+∥y∥B​x+y​=∥x∥B​+∥y∥B​∥x∥B​​∥x∥B​x​+∥x∥B​+∥y∥B​∥y∥B​​∥y∥B​y​
由$\left\|\cdot\right\|_{B}$∥⋅∥B​定义： $\frac{x}{\left\|x\right\|_B}\in C,\frac{y}{\left\|y\right\|_B}\in C.$∥x∥B​x​∈C,∥y∥B​y​∈C.
再联系到$\frac{\left\|x\right\|_B}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}+\frac{\left\|y\right\|_B}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}=1$∥x∥B​+∥y∥B​∥x∥B​​+∥x∥B​+∥y∥B​∥y∥B​​=1,$C$C是一个凸集，所以：
$\quad$$\frac{x+y}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}\in C$∥x∥B​+∥y∥B​x+y​∈C,于是$\left\|\frac{x+y}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}\right\|_B\leq 1$∥∥∥​∥x∥B​+∥y∥B​x+y​∥∥∥​B​≤1,于是$\left\|x+y\right\|_B\leq\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B;$∥x+y∥B​≤∥x∥B​+∥y∥B​;

综上，证毕。

从上面我们看到了：一个向量范数和一个$R^n$Rn空间的一个凸集一一对应。所以我们有了另一种定义向量范数的方式：画一个凸集即可（当然，这个凸集要满足上面说的几条性质），然后我们就可以说，看：我定义了一个向量范数。

很酷，不是吗？