文章目录
集合与点集2
1.4 R n R^ n Rn中点与点之间的距离·点集的极限点
点与点之间的距离
向量的模就是两点的距离 d ( x , y ) = ∣ x − y ∣ d(x,y)=\vert x-y \vert d(x,y)=∣x−y∣
注：我们称 R n R^n Rn 为n维欧氏空间（欧几里得空间）。
1.4.1点集的直径、点的（球）领域、矩体
点集的直径
定义：设 E 是 R n R^ n Rn 中一些点形成的集合，令 d i a m （ E ） = s u p { ∣ x − y ∣ : x , y ∈ E } diam（E）= sup\{\vert x-y\vert : x,y \in E\} diam（E）=sup{∣x−y∣:x,y∈E}，称为E的直径。若 d i a m （ E ） < + ∞ diam（E）<+∞ diam（E）<+∞，称E为有界集
显然，diam（E）就是E中两点最远距离啦
球领域
定义：设 x ∈ R n , δ > 0 x \in R^n ,\delta>0 x∈Rn,δ>0,称点集 { x ∈ R n ∣ ∣ x − x 0 ∣ < δ } \{x \in R^n \mid \vert x-x_0 \vert< \delta\} {x∈Rn∣∣x−x0∣<δ}为以 x 0 x_0 x0为中心， δ \delta δ为半径的开球，称为 x 0 x_0 x0的球领域，记作 B ( x 0 ， δ ) B(x_0，\delta) B(x0，δ)。
类似，闭球为点集 { x ∈ R n ∣ ∣ x − x 0 ∣ ≤ δ } \{x \in R^n \mid \vert x-x_0 \vert \leq \delta\} {x∈Rn∣∣x−x0∣≤δ} ，记为 C ( x 0 ， δ ) C(x_0，\delta) C(x0，δ)
开球就是open ball，所以直接取ball的b
闭球就是closed ball，取closed的c咯
矩体
定义：设
a
i
,
b
i
(
i
=
1
,
2
,
3...
,
n
)
a_i,b_i(i=1,2,3...,n)
ai,bi(i=1,2,3...,n)皆为实数，且
a
i
<
b
i
(
i
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
,
n
)
a_i < b_i (i=1,2,3,...,n)
ai<bi(i=1,2,3,...,n),称点集
{
x
=
(
ξ
1
,
ξ
2
,
.
.
.
,
ξ
n
)
∣
a
i
<
ξ
i
<
b
i
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
)
}
\{x=(\xi_1, \xi_2,...,\xi_n) \mid a_i<\xi_i<b_i (i=1,2,...,n)\}
{x=(ξ1,ξ2,...,ξn)∣ai<ξi<bi(i=1,2,...,n)}为
R
n
R^n
Rn 中的 开矩体，即直积集
(
a
1
,
b
1
)
×
⋅
⋅
⋅
×
（
a
n
,
b
n
）
(a_1,b_1)\times···\times（a_n,b_n）
(a1,b1)×⋅⋅⋅×（an,bn）
类似的，闭矩体，即
[
a
1
,
b
1
]
×
⋅
⋅
⋅
×
[
a
n
,
b
n
]
⟺
{
x
=
(
ξ
1
,
ξ
2
,
.
.
.
,
ξ
n
)
∣
a
i
≤
ξ
i
≤
b
i
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
)
}
[a_1,b_1]\times···\times[a_n,b_n]\Longleftrightarrow\{x=(\xi_1, \xi_2,...,\xi_n) \mid a_i\leq\xi_i\leq b_i (i=1,2,...,n)\}
[a1,b1]×⋅⋅⋅×[an,bn]⟺{x=(ξ1,ξ2,...,ξn)∣ai≤ξi≤bi(i=1,2,...,n)}
半开闭矩体，即 ( a 1 , b 1 ] × ⋅ ⋅ ⋅ × （ a n , b n ] ⟺ { x = ( ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n ) ∣ a i < ξ i ≤ b i ( i = 1 , 2 , . . . , n ) } (a_1,b_1]\times···\times（a_n,b_n]\Longleftrightarrow\{x=(\xi_1, \xi_2,...,\xi_n) \mid a_i\lt\xi_i\leq b_i (i=1,2,...,n)\} (a1,b1]×⋅⋅⋅×（an,bn]⟺{x=(ξ1,ξ2,...,ξn)∣ai<ξi≤bi(i=1,2,...,n)}
称
b
i
−
a
i
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
)
b_i-a_i (i=1,2,...,n)
bi−ai(i=1,2,...,n) 为矩体的各边边长，如果边长都相等，则称矩体为方体
注：矩体常用符号 I ， J I，J I，J 表示，体积用 ∣ I ∣ , ∣ J ∣ \vert I \vert,\vert J \vert ∣I∣,∣J∣来表示。
显然，若 I = ( a 1 , b 1 ) × ⋅ ⋅ ⋅ × （ a n , b n ） I=(a_1,b_1)\times···\times（a_n,b_n） I=(a1,b1)×⋅⋅⋅×（an,bn） ,则
d i a m ( I ) = ∑ k = 1 n ( b k − a k ) 2 diam(I)=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}(b_k-a_k)^2} diam(I)=k=1∑n(bk−ak)2 ， ∣ I ∣ = ∏ k = 1 n ( b k − a k ) \vert I \vert=\prod\limits_{k=1}^{n}(b_k-a_k) ∣I∣=k=1∏n(bk−ak)
直径就是最长的对角线，体积就是各边边长的乘积啦
1.4.2 点集的极限点
极限点或聚点
定义
设 E ⊂ R n , x ∈ R E \subset R^n,x \in R E⊂Rn,x∈R ，若存在 E E E 中的互异点列 { x k } \{x_k\} {xk}使 lim k → ∞ ∣ x k − x ∣ = 0 \lim\limits_{k \to \infty} \vert x_k-x \vert = 0 k→∞lim∣xk−x∣=0 则称点 x x x 为E的极限点或聚点。
E的极限点全体记为 E ′ E' E′，称为E的导集。
定理
若 x ∈ R n x \in R^n x∈Rn ，则 x ∈ E ′ x \in E' x∈E′ 当且仅当 ∀ \forall ∀ δ > 0 \delta>0 δ>0
有， B ( x , δ ) ∖ { x } ∩ E ≠ ϕ B(x,\delta) \setminus \{x\} \cap E \not= \phi B(x,δ)∖{x}∩E=ϕ .
这个定理就是说，x为聚点的充要条件就是任意x的去心邻域都要与E有交集。
从定义来看，把极限的定义展开不就是定理的结果了嘛。
直观理解就是，既然存在E中的点列逼近x，那么在x的领域那么一抓，肯定有交集。
孤立点
设 E ⊂ R n E \subset R^n E⊂Rn ，若 x x x 为孤立点
则 ∃ \exists ∃ δ > 0 , B ( x , δ ) ∖ { x } ∩ E = ϕ \delta>0 , B(x,\delta) \setminus \{x\} \cap E = \phi δ>0,B(x,δ)∖{x}∩E=ϕ .
换句话说，孤立点就是，它的周围的“点朋友”都不是E的“属下”。
这点与聚点正好相反，聚点无论怎样，它周围总会有那么一两个E的“属下”。
定理
设 E 1 , E 2 ⊂ R n E_1,E_2\subset R^ n E1,E2⊂Rn，则 ( E 1 ∪ E 2 ) ’ = E 1 ′ ∪ E 2 ′ (E_1\cup E_2)’=E_1'\cup E_2' (E1∪E2)’=E1′∪E2′ .
Bolazno-Weierstrass定理
R n R^ n Rn中任一有界无限点集 E E E至少有一个极限点。
证明在P29