区间和环形DP

• 概述
• 零、区间DP的循环套路，特！别！重！要！
• 一、线性区间DP
• 二、环形区间DP
• • 1，朴素的枚举环形断点并拆开变成链（O(N~4~)，它死了）
  • 2，拟环链，我们造一个新的收尾相接，长度为2N的新链

概述

• 理论概述：将区间的左界和右界作为两维，通过枚举区间断点，进而求出区间最值的dp思路
• 一般状态转移：f[l][r]=min/max(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]+cost);
• l是区间左界，r是区间右界，k是循环枚举的断点，cost是合并两个区间所需要的价值

零、区间DP的循环套路，特！别！重！要！

for(int len=1;len<=n;len++)
		for(int l=1;l+len-1<=n;l++)   迭代左界
		{	int r=l+len-1;            推出右界
			for(int k=l;k<r;k++)      迭代断点   
	         do  something ;        }

一、线性区间DP

典例：ACWing 282. 线性石子合并
思路：枚举断点并借助DP就、直接价值相加并附加价值（借助了前缀和）
AC 打卡代码

二、环形区间DP

1，朴素的枚举环形断点并拆开变成链（O(N₄)，它死了）

2，拟环链，我们造一个新的收尾相接，长度为2N的新链

理由：对于断掉的每个环的方案，在拟环链上都可以找到
怎么找：子链的长度不变为N，索引起点即可
典例：P1880 [NOI1995] 环形石子合并
注意：
1，合并自己不需要价值，所以len从2开始
2，合并前，先营造不合法解，求最大值初始化为极小
3，断点不能和所求的区间重合，k严格小于r

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=9000; 
int f1[M][M];  //最大 
int f2[M][M];   //最小 
int n;
int s[M];
int ansmax,ansmin;
int  main()
{
	int x;  x=1; 
	cin>>n;	
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>s[i];
	for(int i=n+1;i<=2*n;i++) s[i]=s[x++];    拷贝新链
	for(int i=1;i<=2*n;i++) s[i]+=s[i-1];     前缀和 
	
	
	for(int len=2;len<=n;len++)
		for(int l=1;l+len-1<=2*n;l++)        迭代左界
		{
			int r=l+len-1;                   推出右界
			f1[l][r]=-1e8+9;
			f2[l][r]=1e8+9;
			
			for(int k=l;k<r;k++)              迭代断点
			{
				f1[l][r]=max(f1[l][r],f1[l][k]+f1[k+1][r]+s[r]-s[l-1]);
				f2[l][r]=min(f2[l][r],f2[l][k]+f2[k+1][r]+s[r]-s[l-1]);
		    } 
		} 
	
	ansmin=f2[1][n];
	ansmax=f1[1][n];
	for(int l=1;l+n-1<=2*n;l++)               枚举起点，索引环上子断链
	{
		ansmin=min(f2[l][l+n-1],ansmin);
		ansmax=max(f1[l][l+n-1],ansmax);
    } 
    cout<<ansmin<<endl<<ansmax;
    
 }