逻辑回归LR 小白实战初探

2023-12-15 18:01:48

记录最近学的二分类模型logistics regression，实战内容是利用LR对学生入学成绩进行分析，预测后来的同学能不能进这个学校，概率是多少。

小白入门，数学推导等自己熟练了补上，先挖个坑，怕不回来看了，另外我是用jupyter做的。

第一步肯定是导三个可爱的库了。

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as pl
%matplotlib inline

之后导自己的数据。

import os #os是解决路径的库
path = 'data' + os.sep + 'LogiReg_data.txt'
#我的数据没列名，所以header=None， 再赋三个列名。
pdData = pd.read_csv(path, header=None, names=['Exam 1', 'Exam 2', 'Admitted'])
pdData.head() #先打出来5行看看

逻辑回归LR 小白实战初探

把数据可视化，先看看大致样子。

positive = pdData[pdData['Admitted'] == 1] # returns the subset of rows such Admitted = 1, i.e. the set of *positive* examples
negative = pdData[pdData['Admitted'] == 0] # returns the subset of rows such Admitted = 0, i.e. the set of *negative* examples

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,5)) #调整图的size
ax.scatter(positive['Exam 1'], positive['Exam 2'], s=30, c='b', marker='o', label='Admitted') 
ax.scatter(negative['Exam 1'], negative['Exam 2'], s=30, c='r', marker='x', label='Not Admitted')
ax.legend() 
ax.set_xlabel('Exam 1 Score') #加个x轴
ax.set_ylabel('Exam 2 Score') #加个y轴

逻辑回归LR 小白实战初探
准备工作完成，正式对logistics regression进行实现。
目标：建立分类器（求解出三个参数 $\theta_0 ：偏置项 \theta_1：第成绩1 \theta_2：成绩2 $）

设定阈值，根据阈值判断录取结果

要完成的模块

  • sigmoid : 映射到概率的函数
  • model : 返回预测结果值
  • cost : 根据参数计算损失
  • gradient : 计算每个参数的梯度方向
  • descent : 进行参数更新
  • accuracy: 计算精度

sigmoid 函数

g(z)=11+e−z g(z) = \frac{1}{1+e^{-z}} g(z)=1+e−z1​

def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

矩阵相乘：

(θ0θ1θ2)×(1x1x2)=θ0+θ1x1+θ2x2 \begin{array}{ccc} \begin{pmatrix}\theta_{0} & \theta_{1} & \theta_{2}\end{pmatrix} & \times & \begin{pmatrix}1\\ x_{1}\\ x_{2} \end{pmatrix}\end{array}=\theta_{0}+\theta_{1}x_{1}+\theta_{2}x_{2} (θ0​​θ1​​θ2​​)​×​⎝⎛​1x1​x2​​⎠⎞​​=θ0​+θ1​x1​+θ2​x2​

def model(X, theta):
    
    return sigmoid(np.dot(X, theta.T))


pdData.insert(0, 'Ones', 1) #add a column, value is 1
# set X (training data) and y (target variable)
orig_data = pdData.iloc[:,:].values # convert data to array
cols = orig_data.shape[1]
X = orig_data[:,0:cols-1]
y = orig_data[:,cols-1:cols]

# convert to numpy arrays and initalize the parameter array theta
#X = np.matrix(X.values)
#y = np.matrix(data.iloc[:,3:4].values) #np.array(y.values)
theta = np.zeros([1, 3]) #一行三列的0

损失函数

将对数似然函数去负号

D(hθ(x),y)=−ylog⁡(hθ(x))−(1−y)log⁡(1−hθ(x)) D(h_\theta(x), y) = -y\log(h_\theta(x)) - (1-y)\log(1-h_\theta(x)) D(hθ​(x),y)=−ylog(hθ​(x))−(1−y)log(1−hθ​(x))
求平均损失
J(θ)=1n∑i=1nD(hθ(xi),yi) J(\theta)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} D(h_\theta(x_i), y_i) J(θ)=n1​i=1∑n​D(hθ​(xi​),yi​)

def cost(X, y, theta):
    left = np.multiply(-y, np.log(model(X, theta)))
    right = np.multiply(1 - y, np.log(1 - model(X, theta)))
    return np.sum(left - right) / (len(X))

计算梯度

∂J∂θj=−1m∑i=1n(yi−hθ(xi))xij \frac{\partial J}{\partial \theta_j}=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^n (y_i - h_\theta (x_i))x_{ij} ∂θj​∂J​=−m1​i=1∑n​(yi​−hθ​(xi​))xij​

def gradient(X, y, theta):
    grad = np.zeros(theta.shape)
    error = (model(X, theta)- y).ravel()
    for j in range(len(theta.ravel())): #for each parmeter
        term = np.multiply(error, X[:,j])
        grad[0, j] = np.sum(term) / len(X)
    
    return grad

Gradient descent

比较3中不同梯度下降方法：

  1. 批量梯度下降
  2. 随机梯度下降
  3. 小批量梯度下降（好）
STOP_ITER = 0  #根据迭代次数停止
STOP_COST = 1  #根据损失停止
STOP_GRAD = 2  #根据梯度变化停止

def stopCriterion(type, value, threshold):
    #设定三种不同的停止策略
    if type == STOP_ITER:        return value > threshold
    elif type == STOP_COST:      return abs(value[-1]-value[-2]) < threshold
    elif type == STOP_GRAD:      return np.linalg.norm(value) < threshold

将数据进行洗牌（就是打乱顺序），因为我们搜集的初始数据可能是有一定规律的

import numpy.random
#洗牌
def shuffleData(data):
    np.random.shuffle(data)
    cols = data.shape[1]
    X = data[:, 0:cols-1]
    y = data[:, cols-1:]
    return X, y

不同策略用的时间

import time
#batchSize取1是随机梯度下降，取整体是批量梯度下降，取某个范围是小批量梯度下降
#stopType是停止策略，thresh是对应的阈值，alpha是学习率
def descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    #梯度下降求解
    
    init_time = time.time()
    i = 0 # 迭代次数
    k = 0 # batch
    X, y = shuffleData(data)
    grad = np.zeros(theta.shape) # 计算的梯度
    costs = [cost(X, y, theta)] # 损失值

    
    while True:
        grad = gradient(X[k:k+batchSize], y[k:k+batchSize], theta)
        k += batchSize #取batch数量个数据
        if k >= n: 
            k = 0 
            X, y = shuffleData(data) #重新洗牌
        theta = theta - alpha*grad # 参数更新
        costs.append(cost(X, y, theta)) # 计算新的损失
        i += 1 

        if stopType == STOP_ITER:       value = i
        elif stopType == STOP_COST:     value = costs
        elif stopType == STOP_GRAD:     value = grad
        if stopCriterion(stopType, value, thresh): break
    
    return theta, i-1, costs, grad, time.time() - init_time

辅助更新

def runExpe(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    #import pdb; pdb.set_trace();
    
    #最主要的一行
    theta, iter, costs, grad, dur = descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha)
    
    name = "Original" if (data[:,1]>2).sum() > 1 else "Scaled"
    name += " data - learning rate: {} - ".format(alpha)
    if batchSize==n: strDescType = "Gradient"
    elif batchSize==1:  strDescType = "Stochastic"
    else: strDescType = "Mini-batch ({})".format(batchSize)
    name += strDescType + " descent - Stop: "
    if stopType == STOP_ITER: strStop = "{} iterations".format(thresh)
    elif stopType == STOP_COST: strStop = "costs change < {}".format(thresh)
    else: strStop = "gradient norm < {}".format(thresh)
    name += strStop
    print ("***{}\nTheta: {} - Iter: {} - Last cost: {:03.2f} - Duration: {:03.2f}s".format(
        name, theta, iter, costs[-1], dur))
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,4))
    ax.plot(np.arange(len(costs)), costs, 'r')
    ax.set_xlabel('Iterations')
    ax.set_ylabel('Cost')
    ax.set_title(name.upper() + ' - Error vs. Iteration')
    return theta

不同的停止策略

设定迭代次数

#选择的梯度下降方法是基于所有样本的
n=100
runExpe(orig_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.000001)

逻辑回归LR 小白实战初探

根据损失值停止

设定阈值 1E-6, 差不多需要110 000次迭代

runExpe(orig_data, theta, n, STOP_COST, thresh=0.000001, alpha=0.001)

逻辑回归LR 小白实战初探

根据梯度变化停止

设定阈值 0.05,差不多需要40 000次迭代

runExpe(orig_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.05, alpha=0.001)

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平时要把迭代次数加大，即使趋于饱和，可能正确率会提升。

对比不同的梯度下降方法

Stochastic descent

runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)

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有点爆炸。。。很明显模型不收敛也很不稳定,再来试试把学习率调小一些

runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.000002)

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速度快，但稳定性差，需要很小的学习率

Mini-batch descent

runExpe(orig_data, theta, 16, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.001)

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浮动仍然比较大，我们来尝试下对数据进行标准化将数据按其属性(按列进行)减去其均值，然后除以其方差。最后得到的结果是，对每个属性/每列来说所有数据都聚集在0附近，方差值为1。

from sklearn import preprocessing as pp

scaled_data = orig_data.copy()
scaled_data[:, 1:3] = pp.scale(orig_data[:, 1:3])

runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)

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它好多了！原始数据，只能达到达到0.61，而我们得到了0.38个在这里！ 所以对数据做预处理是非常重要的

runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.02, alpha=0.001)

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更多的迭代次数会使得损失下降的更多！

theta = runExpe(scaled_data, theta, 1, STOP_GRAD, thresh=0.002/5, alpha=0.001)

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随机梯度下降更快，但是我们需要迭代的次数也需要更多，所以还是用batch的比较合适！！！

runExpe(scaled_data, theta, 16, STOP_GRAD, thresh=0.002*2, alpha=0.001)

逻辑回归LR 小白实战初探

精度

我设定的大于0.5这个学生能被录取，否则不行。

#设定阈值
def predict(X, theta):
    return [1 if x >= 0.5 else 0 for x in model(X, theta)]

scaled_X = scaled_data[:, :3]
y = scaled_data[:, 3]
predictions = predict(scaled_X, theta)
correct = [1 if ((a == 1 and b == 1) or (a == 0 and b == 0)) else 0 for (a, b) in zip(predictions, y)]
accuracy = (sum(map(int, correct)) % len(correct))
print ('accuracy = {0}%'.format(accuracy))

accuracy = 89%

如果有什么缺点，欢迎大佬指正。

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