哈尔滨市办证徵/電【131-2220-1112】本地哪里哈尔滨市办证件【Vq:7736661】办理毕业证书文凭|学位证|不动产证|英语四六级证|做房产证|结婚证|离婚证|车辆登记证|教师证|办各种证/作为前篇证明乘法左右幺元交换律的补充。在那里我将乘法交换律等作为公理直接使用，但其实很有必要从更基础的角度来证明他们是符合逻辑的，为了简单进入主题，所以这篇直接从皮亚诺公设来定义出自然数集，然后在自然数集中定义二元运算。这样会避免探讨过多更基础的东西。 　　自然数的 Peano 公理首先定义 S(n) 为一个后继函数，它仅仅表示 S(n) 是 n 的后继，注意这里我们先忘记掉我们认知中的 “+”、“?” 等二元运算法则，我们不需要，之后完全可以通过 S 定义出他们，所以我不想在这里将 S(n) 写为 S(n)=n+1 这样的形式。 　　1. 0∈N. 　　2. ??n(n∈N∧S(n)=0).（这表明 0 不是任何数的后继） 　　3. ?n,m((n,m∈N∧n≠m)?S(n)≠S(m)).（这条表明任何数的后继不是其它数的后继，S(n)=S(m)?n=m） 　　4. ?S((S?N∧0∈N∧?n)(n∈S?S(n)∈S)?S=N).（归纳原理） 　　Peano公理十分强有力，没有丝毫多余的描述，也没有不完备的地方（或者说有不完备的地方，其实都是直接作为公理加进去），现在我们可以在coq中定义自然数集了： Inductive N : Type := | O : N | S : N -> N. 　　这里 O 表示 0（zero），S 表示一个后继函数，但还没有具体实现。所以我们需要定义一个加法运算： Fixpoint plus (n m : N) := match n with | O => m | S n' => S (n' + m) https://biz.ifeng.com/c/7ztFAcNJB9W where "n' + m" := (plus n' m). 　　这里 Sn′?S(n′+m) 意思就是，当 n 是集合中某个 n′ 的后继时，返回 n+m=S(n′+m)，递归展开就是 S(S(S(...(S(O+m)...)=S(O)+S(O)+...+S(O)+m，共 n 个 S(O) 的和，如果将 S(O) ，也就是 0 的后继表示为我们熟悉的 1，就很明显可以看到 n+m 的影子了，可以简单证明 (n=S(n′)∧S(n′+m)=n+m)?S(n′)+m。 上面定义了 e 为 0 的后继，并用归纳法证明了 n?e=n（实际上还可以考虑使用前面证明过的 mult_n_Sm 和 mult_n_O 来证明，作为小作业试试吧~）于是现在我们可以证明e?n=n了 https://www.cnblogs.com/WSCXY003/p/13894773.html https://www.cnblogs.com/WSCXY003/p/13894766.html https://www.cnblogs.com/WSCXY003/p/13894757.html