过剩数

2023-12-14 21:14:15

11560 过剩数

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题型: 编程题语言: 无限制

Description

对于一个正整数n，设S为n所有不同因子的和，如果有S-2*n>0则说n为过剩数，

现给两个正整数a和b（1<=a<=b<=100000），计算并输出a与b之间（包括a与b）有多少个
过剩数。

输入格式

多cases，最多1000个测试项
每一行两个数a与b，以一个空格分隔
最后一行为两个0

输出格式

对应每一行按题目要求输出一个数，最后一行不用输出

输入样例

输出样例

0
22
225

本来也想着一次判断1~100000的数是不是过剩数，然后多次使用，但对每个数都去判断是否是过剩数必然超时，一时没思路，索性去百度：

完全数过剩数的正整数（>1）倍都是过剩数。

如6为完全数，那么 6的倍数都是过剩数。

证明：若x为完全数或过剩数，它的因子之和（除去自身）不小于x，对于nx，x所有因子的n倍都是nx的因子，其和不小于nx，除此之外，nx还有别的因子（如1），所以nx必然是过剩数。

根据上面这条定理效率便会提高很多

下面是代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=100010;
ll a,b,m;

int g[maxn]={0,0,0},s[maxn]={0,0,};
//用数组g[]来标识是否是过剩数，s[n]统计小于等于n的过剩数个数
int is_abundant(ll x)//判断是否是过剩数
{
    int i;
    double temp=sqrt(x);

    ll sum=0;
    if(temp==(int)temp)
       sum+=(int)temp;

    for(i=1;i<temp;i++)
       if(x%i==0)
          sum+=i+x/i;

    if(sum>2*x)
       return 1;
    else
       return 0;
}

int main()
{
    int i,j,num=0;

    for(i=12;i<maxn;i++)
    {
        if(g[i]==1)
            s[i]=++num;
        else if( is_abundant(i) )
        {
            g[i] = 1;
            s[i] = ++num;
            for( j =i + i; j < maxn ; j +=i )  g[j] = 1;
        }
        else
            s [i] = num;
    }

    while( cin>>a>>b && (a||b) )
    {
        if( g[a] )
           cout<<s[b]-s[a]+1<<endl;
        else
           cout<<s[b]-s[a]<<endl;
    }
    return 0;
}

过剩数