字符串第六天:KMP算法

2021-09-19 06:01:26

文章转自：https://github.com/youngyangyang04/leetcode-master/blob/master/problems/0028.%E5%AE%9E%E7%8E%B0strStr.md

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KMP算法是一种改进的字符串匹配算法，由D.E.Knuth，J.H.Morris和V.R.Pratt提出的，因此人们称它为克努特—莫里斯—普拉特操作（简称KMP算法）。

KMP应用场景

KMP主要应用在字符串匹配上。

KMP的主要思想是【当出现字符串不匹配时，可以知道一部分之前已经匹配的文本内容，可以利用这些信息避免从头再去做匹配】。

所以如何记录已经匹配的文本内容，是KMP的重点，也是next数组肩负的重任。

前缀表

next数组就是一个前缀表（prefix table）。

前缀表是用来回溯的，它记录了模式串与主串（文本串）不匹配的时候，模式串应该从哪里开始重新匹配。

例如：

要在文本串（主串）：aabaabaafa中查找是否出现过一个模式串：aabaaf。

如下所示：

可以看出，文本串中第六个字符b 和模式串的第六个字符f，不匹配了。如果暴力匹配，会发现不匹配，此时就要从头匹配了。

但如果使用前缀表，就不会从头匹配，而是从上次已经匹配的内容开始匹配，找到了模式串中第三个字符b继续开始匹配。

此时就要问了前缀表是如何记录的呢？

首先要知道前缀表的任务是当前位置匹配失败，找到之前已经匹配上的位置，在重新匹配，此也意味着在某个字符失配时，前缀表会告诉你下一步匹配中，模式串应该跳到哪个位置。

那么什么是前缀表：下表i之前（包括i）的字符串中，有多大长度的相同前缀后缀。

最长相等前后缀

文章中字符串的前缀是指【不包含最后一个字符的所有以第一个字符开头的连续子串】；

后缀是指【不包含第一个字符的所有以最后一个字符结尾的连续子串】。

前缀表要求的就是相同前后缀的长度。

为什么一定要用前缀表

这就是前缀表那为啥就能告诉我们上次匹配的位置，并跳过去呢？

回顾一下，刚刚匹配的过程在下表5的地方遇到不匹配，模式串是指向f，如图：

然后就找到了下标2，指向b，继续匹配，如图：

下表5之前这部分的字符串（也就是字符串aabaa）的最长相等的前缀 和 后缀字符串是 子字符串aa ，因为找到了最长相等的前缀和后缀，匹配失败的位置是后缀子串的后面，那么我们找到与其相同的前缀的后面从新匹配就可以了。

所以前缀表具有告诉我们当前位置匹配失败，跳到之前已经匹配过的地方的能力。

如何计算前缀表

如图：

子串a的最长相同前后缀的长度为0，这是默认的（参考前缀后缀定义）。

长度为2的子串aa，前缀为a（下标为0的a），后缀也为a（下标为1的a），相同前后缀长度为1，所以子串aa的最长相同前后缀长度为1。

长度为3的子串aab，前缀为aa，后缀为ab，前后缀不相同，因此最长相同前后缀为0。

后面以此类推：
长度为前4个字符的子串aaba，最长相同前后缀的长度为1。
长度为前5个字符的子串aabaa，最长相同前后缀的长度为2。
长度为前6个字符的子串aabaaf，最长相同前后缀的长度为0。

那么把求得的最长相同前后缀的长度就是对应前缀表的元素，如图：

可以看出前缀表里的数值代表着就是：当前位置之前的子串有多大长度相同的前缀后缀。

再来看一下如何利用前缀表找到当字符不匹配的时候应该指针应该移动的位置。如动画所示：

找到不匹配的位置，那么此时就要看它前一个字符的前缀表的数值是多少。

为什么要看前一个字符的前缀表的数值呢？
因为要找前面字符串的最长相同的前缀和后缀。

所以要看前一位的前缀表的数值。

前一个字符的前缀表的数值是2，所有把下表移动到下表2的位置继续比配。可以再反复看一下上面的动画。

最后就在文本串中找到了和模式串匹配的子串了。

前缀表有什么问题

会有这样一种情况：

看这个位置红框的位置，如果要找下表1 所对应前缀表里的数值的时候，前缀表里的数值依然是1，然后就要跳到下表1的位置，如此就「形成了一个死循环」。

如何怎么避免呢？
就把前缀表里的数值统一减一，开始位置设置为-1 。如下：

为什么不会有这种情况呢？下标为1的前缀表数值减一后的还是1呢？
下标为1，说明只有两个字符，根据前缀后缀的定义：
前缀是指不包含最后一个字符的所有以第一个字符开头的连续子串；
后缀是指不包含第一个字符的所有以最后一个字符结尾的连续子串。
我们可以知道长度为2的字符最长相等前后缀不可能大于1。

因此通过将前缀表中数值减一来避免死循环！

最后得到的新前缀表在KMP算法里通常用一个next数组来表示。

注意这个next数组就根据模式串求取的。

next数组

next数组就是通过前缀表减一得到的。

有了next数组，就可以根据next数组来匹配文本串s，和模式串t了。

匹配过程动画如下：

构造next数组

我们定义一个函数getNext来构建next数组，函数参数为指向next数组的指针，和一个字符串。代码如下：

void getNext(int* next, const string& s);

构造next数组其实就是计算模式串s，前缀表的过程。主要有如下三步：

初始化
处理前后缀不相同的情况
处理前后缀相同的情况

初始化

定义两个指针 i 和 j ，j 指向前缀起始位置，i 指向后缀起始位置。

然后还要对next数组进行初始化赋值，如下：

int j = -1; //前缀表统一减一
next[0] = j;	//第一个字符的next值默认为-1（0 - 1）

next[i] 表示 i（包括i）之前最长相等的前后缀长度（其实就是j）

为什么是j？
因为j 指向前缀起始位置，i 指向后缀起始位置，当前后缀匹配时i ，j会同时后移直至匹配完成。匹配完成后j 则为前后缀相等时的前缀长度。

所以初始化next[0] = j 。

处理前后缀不相等的情况
因为j初始化为-1，那么i就从1开始，进行s[i] 与 s[j+1]的比较。

所以遍历模式串s的循环下标i 要从 1开始，代码如下：

for (int i = 1; i < s.size(); i++)

如果 s[i] 与 s[j+1]不相同，也就是遇到前后缀末尾不相同的情况，就要向前回退。

怎么回退呢？

next[j]就是记录着j（包括j）之前的子串的相同前后缀的长度。

那么 s[i] 与 s[j+1] 不相同，就要找 j+1前一个元素在next数组里的值（就是next[j]）。

所以，处理前后缀不相同的情况代码如下：

while (j >= 0 && s[i] != s[j + 1]) { // 前后缀不相同了
    j = next[j]; // 向前回退
}

处理前后缀相同的情况
如果s[i] 与 s[j + 1] 相同，那么就同时向后移动i 和j 说明找到了相同的前后缀，同时还要将j（前缀的长度）赋给next[i], 因为next[i]要记录相同前后缀的长度。

代码如下：

if (s[i] == s[j + 1]) { // 找到相同的前后缀
    j++;
}
next[i] = j;

整体代码如下：

void getNext(int* next, const string& s)
{
	int j = -1;
	next[0] = j;
	for (int i = 1; i < s.size(); i++)
	{
		//不相等情况
		while (j >= 0 && s[i] != s[j + 1])	//j 初始值为-1， 所以后面需要和s[j + 1]比较，又因为i从1开始，不匹配时无需回退，所以j >=0
		{
			j = next[j];	//j回退
		}
		//相等情况
		if (s[i] == s[j + 1])
		{
			//i 和j同时后移继续匹配
			j++;
		}
		//更新next数组
		next[i] = j;
	}
}

代码构造next数组的逻辑流程动画如下：

时间复杂度分析

其中n为文本串长度，m为模式串长度，因为在匹配的过程中，根据前缀表不断调整匹配的位置，可以看出匹配的过程是O(n)，之前还要单独生成next数组，时间复杂度是O(m)。所以整个KMP算法的时间复杂度是O(n+m)的。

暴力的解法显而易见是O(n * m)，所以KMP在字符串匹配中极大的提高的搜索的效率。

文章出自：https://github.com/youngyangyang04/leetcode-master/blob/master/problems/0028.%E5%AE%9E%E7%8E%B0strStr.md

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