本文是笔者在线看Lektorium上John Morgan在圣彼得堡国立大学欧拉研究所的讲座做的笔记。第一讲以如下内容组成

1. 联络，测地线，高斯映射
2. 曲率
3. 整体性质
4. 黎曼流形的极限

1. 黎曼曲面上的联络

黎曼流形(M^n,g)(Mn,g) 中，MM 为nn 维流形，而gg 为正定的黎曼度量，即g_{ij}(x^1,x^2,\cdots,x^n)dx^i\otimes dx^jgij(x1,x2,?,xn)dxi?dxj ，而(g_{ij})(gij) 是对称正定的。

\nabla? 是联络，它的定义域与值域为\nabla:Vect(M)\otimes_{\mathbb{R}}Vect(M)\times Vect(M) ，也即将两个M 上的向量场映射到M 上的向量场，即\nabla_X(Y)\in Vect(M) .且满足如下三条性质：

• 线性性，即关于X 的f\in C^{\infty}(M) 线性，有\nabla_{fX+Y}(Z)=f\nabla_{X}(Z)+\nabla_{Y}(Z)
  但是注意到关于第二个值并没有C^{\infty}M) 线性，就是\nabla_X(fY)=f\nabla_X(Y)+X(f)\cdot Y

• X(\langle Y_1,Y_2\rangle)=\langle \nabla_X(Y_1),Y_2\rangle+\langle Y_1,\nabla_X(Y_2)\rangle ,这表示

（开坑施工中。。）

John Morgan:黎曼几何概要