计算阶乘n!末尾0的个数

一、问题描述

  给定一个正整数n,请计算n的阶乘n!末尾所含有“0”的个数。例如:

  • 5!=120,其末尾所含有的“0”的个数为1;
  • 10!= 3628800,其末尾所含有的“0”的个数为2;
  • 20!= 2432902008176640000,其末尾所含有的“0”的个数为4。

二、算法分析

  此类问题很显然属于数学问题,一定要找到其中的本质规律才能得到正确的数学模型。

  两个大数字相乘,都可以拆分成多个质数相乘,而质数相乘结果尾数为0的,只可能是2*5。如果想到了这一点,那么就可以进一步想到:两个数相乘尾数0的个数其实就是依赖于2和5因子的个数。又因为每两个连续数字就会有一个因子2,个数非常充足,所以此时只需要关心5因子的个数就行了。

  对于一个正整数n来说,怎么计算n!中5因子的个数呢?我们可以把5的倍数都挑出来,即:

  令n! = (5*K) * (5*(K-1)) * (5*(K-2)) * ... * 5 * A,其中A就是不含5因子的数相乘结果,n = 5*K + r(0<= r <= 4)。假设f(n!)是计算阶乘n!尾数0的个数,而g(n!)是计算n!中5因子的个数,那么就会有如下公式:

  f(n!) = g(n!) = g(5^K * K! * A) = K + g(K!) = K + f(K!),其中K=n / 5(取整数)。

  很显然,当0 <= n <= 4时,f(n!)=0。结合这两个公式,就搞定了这个问题了。举几个例子来说:

  • f(5!) = 1 + f(1!) = 1
  • f(10!) = 2 + f(2!) = 2
  • f(20!) = 4 + f(4!) = 4
  • f(100!) = 20 + f(20!) = 20 + 4 + f(4!) = 24
  • f(1000!) = 200 + f(200!) = 200 + 40 + f(40!) = 240 + 8 + f(8!) = 248 + 1 + f(1) =249

三、代码实现

  使用递归函数来做,非常的简单,直接套用公式即可:

#include <iostream>
using namespace std; int GetN_1(int n)
{
if (n < )
{
return ;
}
else
{
return (n / + GetN_1(n / ));
}
} int main()
{
cout << GetN_1() << endl;  // 输出249 system("pause");
return ;
}
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