多重背包问题
问题：有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
分析：
这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则有状态转移方程：
f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}
复杂度是O(V*Σn[i])。
另一种方法：
另一种好想好写的基本方法是转化为01背包求解：把第i种物品换成n[i]件01背包中的物品，则得到了物品数为Σn[i]的01背包问题，直接求解，复杂度仍然是O(V*Σn[i])。
但是我们期望将它转化为01背包问题之后能够像完全背包一样降低复杂度。仍然考虑二进制的思想，我们考虑把第i种物品换成若干件物品，使得原问题中第i种物品可取的每种策略——取0..n[i]件——均能等价于取若干件代换以后的物品。另外，取超过n[i]件的策略必不能出现。
方法是：将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为 1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，如果n[i]为13，就将这种 物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。
分成的这几件物品的系数和为n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i种物品。另外这种方法也能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示，这个证明可以分0..2^k-1和2^k..n[i]两段来分别讨论得出，并不难，希望你自己思考尝试一下。
这样就将第i种物品分成了O(log n[i])种物品，将原问题转化为了复杂度为<math>O(V*Σlog n[i])的01背包问题，是很大的改进。
下面给出O(log amount)时间处理一件多重背包中物品的过程，其中amount表示物品的数量：
procedure MultiplePack(cost,weight,amount)
if cost*amount>=V
CompletePack(cost,weight)
return
integer k=1
while k<amount
ZeroOnePack(k*cost,k*weight)
amount=amount-k
k=k*2
ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight)
代码实现：
1 /******************多重背包问题*********************/ 2 #include <iostream> 3 #include <vector> 4 #include <math.h> 5 using namespace std; 6 #define EMPTY 7 #define INF -65536 8 const int V=1000;//定义体积 9 const int T=5;//定义物品种类 10 int f[V+1]; 11 int c[T]={40,100,30,80,400}; 12 int w[T]={3,8,1,3,5}; 13 int n[T]={10,5,9,13,7}; 14 vector <int> n_list;//存储分解后的每一个系数 15 vector <int> c_list;//将分解后的每一个系数乘以每一个体积 16 vector <int> w_list;//将分解后的每一个系数乘以每一个价值 17 void initpackage()//将每个系数分解 18 { 19 int x=0; 20 for(int i=0;i<T;i++) 21 { 22 int p=1; 23 cout<<n[i]<<":"; 24 while((n[i]-pow(2,p)+1)>=0) 25 { 26 cout<<pow(2,p-1)<<" "; 27 n_list.push_back(pow(2,p-1)); 28 c_list.push_back(c[i]*pow(2,p-1)); 29 w_list.push_back(w[i]*pow(2,p-1)); 30 p++; 31 } 32 x=n[i]-pow(2,p-1)+1; 33 if(x>0) 34 { 35 cout<<x<<" "; 36 n_list.push_back(x); 37 c_list.push_back(c[i]*x); 38 w_list.push_back(w[i]*x); 39 } 40 cout<<endl; 41 } 42 } 43 int package() 44 { 45 initpackage(); 46 int size; 47 size=n_list.size(); 48 #ifdef EMPTY 49 for(int i=0;i<=V;i++) 50 { 51 f[i]=0; 52 } 53 #else 54 f[0]=0; 55 for(int i=1;i<=V;i++) 56 { 57 f[i]=INF; 58 } 59 #endif // EMPTY 60 for(int i=0;i<size;i++) 61 { 62 for(int v=V;v>=c_list[i];v--) 63 { 64 f[v]=max(f[v],f[v-c_list[i]]+w_list[i]); 65 } 66 } 67 return f[V]; 68 } 69 int main() 70 { 71 int temp; 72 cout<<"c[i]的结果为："; 73 for(int i=0;i<T;i++) 74 { 75 cout<<c[i]<<" "; 76 } 77 cout<<endl; 78 cout<<"w[i]的结果为："; 79 for(int i=0;i<T;i++) 80 { 81 cout<<w[i]<<" "; 82 } 83 cout<<endl; 84 cout<<"n[i]的结果为："; 85 for(int i=0;i<T;i++) 86 { 87 cout<<n[i]<<" "; 88 } 89 cout<<endl; 90 temp=package(); 91 cout<<temp<<endl; 92 return 0; 93 }