定义
序列\(a\)的普通生成函数\((OGF)\)，定义为形式幂级数：
\[F(x)=\sum_{n}a_nx^n \]\(a\)既可以是有穷序列，也可以是无穷序列，常见例子：
\(1.\)序列\(a=<1,2,3>\)的\(OGF\)是\(1+2x+3x^2\)
\(2.\)序列\(a=<1,1,1,…>\)的\(OGF\)是\(\sum_{n\geq 0}x^n\)
\(3.\)序列\(a=<1,2,4,…>\)的\(OGF\)是\(\sum_{n\geq 0}2^nx^n\)
\(4.\)序列\(a=<1,3,5,…>\)的\(OGF\)是\(\sum_{n\geq 0}(2n+1)x^n\)
如果序列\(a\)有通项公式，那么它的\(OGF\)的系数就是通项公式
基本运算
考虑两个序列\(a\)和\(b\)的\(OGF\)，分别是\(F(x)\)和\(G(x)\)，那么有
\[F(x)±G(x)=\sum_{n}(a_n±b_n)x^n \]因为\(F(x)±G(x)\)是序列\(<a_n±b_n>\)的\(OGF\)
考虑乘法运算，即卷积
\[F(x)*G(x)=\sum_{n}x^n\sum_{i=0}^n a_ib_{n-i} \]因为\(F(x)*G(x)\)是序列\(<\sum_{i=0}^n a_ib_{n-i}>\)的\(OGF\)
封闭形式
形式幂级数形式不好表示，考虑转化为封闭形式
\(a=<1,1,1,…>\)的\(OGF \ F(x)=\sum_{n\geq 0}x^n\)可以列出
\[F(x)=1+x+x^2+…\\ xF(x)=x+x^2+x^3+…\\ xF(x)+1=F(x)\\ F(x)=\frac{1}{1-x} \]这就是\(\sum_{n\geq 0}x^n\)的封闭形式
考虑等比数列\(<1,p,p^2,p^3,…>\)的普通生成函数\(G(x)=\sum_{n\geq 0}p^nx^n\)，有
\[G(x)px+1=G(x)\\ G(x)=\frac{1}{1-px} \]例题
\(1.a=<0,1,1,1,…>\)
\[xF(x)+x=F(x)\\ F(x)=\frac{x}{1-x}\\ \]\(2.a=<1,0,1,0,1,…>\)
\[x^2F(x)+1=F(x)\\ F(x)=\frac{1}{1-x^2} \]\(3.a=<1,2,3,4,…>\)
\[F(x)=\sum_{n\geq 0}(n+1)x^n\\ 令n=n+1\\ F(x)=\sum_{n\geq 1}nx^{n-1}\\ =\sum_{n\geq 0}(x^n)'\\ =(\frac{1}{1-x})'\\ =\frac{1}{(1-x)^2} \]\(4.a_n=\dbinom{m}{n}\)
\[F(x)=\sum_{n}\dbinom{m}{n}x^n1^{m-n}\\ =(1+x)^m \]\(5.a_n=\dbinom{n+m}{n}\)
归纳法证明：\(a_n=\frac{1}{(1-x)^{m+1}}\)
\[m=0时,F(x)=\frac{1}{1-x}\\ m>0时\\ \frac{1}{(1-x)^{m+1}}=\frac{1}{(1-x)^m}\frac{1}{1-x}\\ =(\sum_{n\geq 0}\dbinom{m-n+1}{n})(\sum_{n\geq 0}x^n)\\ =\sum_{n\geq 0}(\sum_{i=0}^{n}\dbinom{m-1+i}{i}x^i*1^{n-i}x^{n-i})\\ =\sum_{n\geq 0}\dbinom{n+m}{n}x^n\\ \]