傅里叶变换

1.傅里叶级数的定义:

数学上对任意函数进行分解,必须保证有一个可以表示该函数的正交,归一函数族。

若将此用于信号的分解上,则一个正交,归一的函数族构成了信号空间,在这个空间中任何信号可以用这样一族函数表示。

在常用函数中正交,归一的函数族有很多种,如三角函数族、正负负指数族、沃尔什函数族等,用这些基本的函数完成任意信号的分解,从而建立谱的概念,同时解决连续信号时-频之间的变换。

 

下面简单讨论三角函数族,我们知道对于一个向量正交来说,两个向量相乘为0,则称这两个向量为正交向量,任意向量可以用这两个向量乘以不同系数来表示。

同样的,对于任意两个函数相乘积分为0,则称这两个函数是正交的。

其中,将这些所有互相正交的函数称为正交函数集。其中任意函数都可由其正交函数集乘以不同系数来表示。

 

正交函数集定义

傅里叶变换

 

 

 

X(t)表示任意信号,用正交函数集可以合成任意信号

傅里叶变换

 

 

 

三角函数正交函数集

傅里叶变换

 

 

 

傅里叶级数定义:

任何一个周期为T的周期信号f(t),满足狄里克雷条件,都可展开为如下三角级数

傅里叶变换

 

其中1为基波角频率,它与信号周期T关系为2/T

傅里叶变换

 

 

 

 看概念可能不好理解,下面是我找的例子

傅里叶变换

 

傅里叶变换

 

 

 2.离散傅里叶变换DFT(Discrete Fourier Transform)

 

由来:为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一个专有名词

 


X(t) ---------------------------->(t)

 

     截断、周期延拓

 

周期信号(t)的傅里叶级数分解:

 

 傅里叶变换  ω = 2 * π *f0 

 

离散化处理:连续域转变为离散域,积分变为和

 傅里叶变换

 

3.快速傅里叶变换FFT(Fast Fourier Transform)

 

定义:快速傅里叶变换是离散傅里叶变换的一种有效算法,通过选择和排列中间结果,可有效减小运算量,计算结果是相同的。

 

不同频率点对应DFT计算公式中的冗余:

 傅里叶变换

 

 

 由此,可以看出离散傅里叶变换中存在着许多计算的冗余,FFT就是为了解决这个防止重复性计算

FFT里面比较常用的就是采用了蝶形运算的方法,来减少运算量,不过其要求就是点数必须是2的幂次方。所以在调用FFT时候其数据长度必须为2的幂次方。

 

4.FFT谱的栅栏效应

为提高效率,一般都采用FFT算法来计算信号频谱,设采样频率为Fs,采样数据点数为N,则信号的截断周期和基频为;

T=N/Fs; f0=Fs/N

FFT计算的各傅里叶级数的频率位置为:

 

fn = i*Fs/N; i=0,1,2,3……

傅里叶变换

 

 

一般来说栅栏效应带来的误差使得真实频率的幅度值变小,最大可达到36%

 

傅里叶变换傅里叶变换

 

 

能量泄露是由截断带来的,而栅栏效应是FFT带来的,严格上来说,若周期截断的话频谱就像上面这样,就不会有能量泄露,那一旦FFT的采样点偏移的话可能什么都读不到。但实际上这类情况并不会发生,也就是说一定会有能量泄露发生,那样的话,即使读不到真正的谱峰也能读到其旁瓣信号。这也是FFT之所以适用的原因。

 

所以能量泄露原本是不希望有的,但对FFT变换来讲确是有利的。接下来就是如何改进能量泄露了,使得其对FFT变换更有利一些,也就是增加其主瓣宽度。一般通过加窗来实现,简单讲就是用其他函数与原函数相乘截断。

 

 傅里叶变换傅里叶变换

 一般通过加窗以后其幅度值最后需要乘以其修正系数

 

 

 

 

 

2.离散傅里叶变换DFT(Discrete Fourier Transform)

由来:为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一个专有名词

傅里叶变换X(t)                                傅里叶变换(t)

           截断、周期延拓

周期信号傅里叶变换(t)的傅里叶级数分解:

傅里叶变换  傅里叶变换=2傅里叶变换f0

离散化处理:连续域转变为离散域,积分变为和

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