第一章 行列式
第一节 二阶与三阶行列式
二阶行列式定义
已经数表
则表达式称为由数表所确定的二阶行列式，记作
行列式的元素
数称为行列式的元素或元。元素的第一个下标 i 代表 行标，元素的第二个下标 j 代表 列标。
二阶行列式的计算
利用对角线法则进行计算，实连线称为主对角线 ** ，虚连线称为副对角线**。
三阶行列式定义
设有九个数字组成的三行三列数表
记
第二节 全排列和对换
全排列定义
把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列。
逆序定义
对于 n 个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序，在这 n 个元素的任一排列中，当某一对元素的先后次序与标准次序不同时，就说构成一个逆序。
逆序数定义
一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。
定理1
一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
定理1推论
奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数。
第三节 n阶行列式的定义
定义2
设有个数，排列成 n 行 n 列的数表
，
则
（t为这个排列的逆序数)称为 n 项行列式，
记作
简记为。
三角形列式
主对角线以上（以下）的元素都为 0 的行列式叫做上（下）三角形行列式。
对角行列式
主对角线以上和以下的元素都为 0 的行列式叫做对角行列式。
第四节 行列式的性质
性质1
行列式与它的转置行列式相等。
即
性质2
对换行列式的两行（列），行列式变号。
性质2推论
如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。
性质3
行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数 k，等于用数 k 乘此行列式。
性质3推论
行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
性质4
行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
性质5
若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第 i 行的元素都是两数之和
，
性质6
把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素之上，行列式不变。
- 任何 n 阶行列式总能利用运算
把行列式转化为上三角行列式。
第五节行列式按行（列）展开
余子式的定义
在 n 阶行列式中，把元
所在第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n-1 阶行列式叫做
元
的余子式，记作
代数余子式的定义
记叫做
元
的代数余子式。
引理（用于求行列式D）
一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元素除元
外都为零，那么这行列式等于
与它的代数余子式的乘积，
即
定理2（行列式按行/列展开法则）
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，
即
定理2推论
行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，
即
第二章 矩阵及其运算
第一节 线性方程组和矩阵
线性方程组（非齐次线性方程和齐次线性方程）
? **n **元非齐次线性方程，
? n 元齐次线性方程，
-
n 元齐次线性方程一定存在
的零解，但是不一定有非零解。
矩阵的定义
由个数
排成的 m 行 n 列的数表
称为 m 行 n 列矩阵，简称矩阵，
记作
元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。
方阵定义
行数和列数都等于 n 的矩阵称为 n 阶矩阵或 n 阶方阵。
行矩阵
只有一行的矩阵
称为行矩阵，又称行向量。
列矩阵
只有一列的矩阵
称为列矩阵，又称列向量。
同型矩阵
两个矩阵的行数相等，列数也相等时，就称它们是同型矩阵。
零矩阵
元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 O。
注：不同型的零矩阵是不同的。
系数矩阵 未知数矩阵 常数项矩阵 增广矩阵
，
其中称为系数矩阵，
称为未知数矩阵，
称为常数项矩阵，
称为增广矩阵。
对角矩阵
从左上角到右下角的直线（叫做对角线）以外的元素都是 0 ，这种方阵称为对角矩阵，简称对角阵，
记作，也记作
单位矩阵
对角线上的元素都是 1 ，称为 n 阶单位矩阵，简称单位阵，
记作
第二节 矩阵的运算
矩阵的加法
设有两个矩阵
，那么矩阵 A 与矩阵 B 的和记作 A + B，规定为
注意：只有当两个矩阵为同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。
矩阵加法的运算规律
矩阵加法满足的规律：
负矩阵和矩阵的减法
-A 称为 A 的负矩阵，有
故矩阵的减法为
数与矩阵相乘
数与矩阵 A 的乘积记作
，规定为
数乘矩阵的运算规律
数乘矩阵满足的规律：
- 矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。
矩阵与矩阵相乘
设是一个
矩阵，
是一个
矩阵，那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个
矩阵
，其中
记作
矩阵乘法注意事项：
- 一个
行矩阵与一个
列矩阵的乘积是一个
- 只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵)的行数时，两个矩阵才能相乘。
- 在矩阵乘法中必须注意矩阵相乘的顺序，矩阵乘法不满足交换律。
矩阵乘法的运算规律
矩阵乘法满足的规律：
矩阵的幂
矩阵的幂的运算规律
转置矩阵
把矩阵 A 的行换成同序列数的列得到一个新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作
转置矩阵的运算规律
矩阵的转置满足的规律：
对称矩阵
设 A 为 n 阶方阵，如果满足，那么 A 称为对称矩阵，简称对称阵。
- 特点：它的元素以对角线为对称轴对应相等。
方阵的行列式
由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵 A 的行列式，记作。
- 方阵和行列式是两个不同的概念
-
n 阶方阵是
个数按一定方式排成的数表。
- n 阶行列式则是这些数（也就是数表 A ）按一定的运算法则所确定的一个数。
-
n 阶方阵是
方阵的行列式的运算规律
由A确定的的这个运算满足下述运算规律：
伴随矩阵的定义
行列式的各个元素的代数余子式
所构成的如下的矩阵称为 A 的伴随矩阵，简称伴矩阵。
第三节 逆矩阵
逆矩阵的定义
对于 n 阶矩阵 A，如果有一个 n 阶矩阵 B，使则说矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵，简称逆阵，记作
，即若
- 如果矩阵 A 是可逆的，那么 A 的逆矩阵是惟一的。
逆矩阵的运算规律
逆矩阵满足的运算规律：
定理1
若矩阵 A 可逆，则。
定理2
若，则矩阵 A 可逆，且
其中为矩阵 A 的伴随矩阵。
奇异矩阵的定义
当时，A 称为奇异矩阵，又称满秩矩阵，否则称非奇异矩阵。
-
A 是可逆矩阵的充分必要条件是
，即可逆矩阵就是非奇异矩阵，也称为降秩矩阵。
推论
若，则
第四节 克拉默法则
克拉默法则的定义
如果线性方程组的系数矩阵 A 的行列式不等于零
那么方程组有惟一解
其中是把系数矩阵 A 中第 j 列的元素用方程组右端的常数项 代替后所得到的 n 阶矩阵，即
运用克拉默法则的条件
- 方程个数与未知数个数相等。
- 系数行列式不等于零。
第五节 矩阵分块法
分块矩阵
将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 A 的子块，以子块元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
- 分块法的核心思想：使大矩阵的运算化为小矩阵的运算。
- 对矩阵分块时有两种分块方法
- 按列分块
- 按行分块
- 利用矩阵的按行（列）分块，还可以给出线性方程组的另一矩阵表示形式，重新回到线性方程组。
分块矩阵的运算规律
分块矩阵满足的规律：
，
，
，
分块对角矩阵
设 A 为 n 阶方阵，若 A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，其中都是方阵，那么称 A 为分块对角矩阵。
第三章 矩阵的初等变换和线性方程组
第一节矩阵的初等变化
矩阵的初等行变换
下面三种变换称为矩阵的初等行变换：
- 对换两行（对换
两行，记作
- 以数
乘某一行中的所有元（第 i 行乘 k ，记作
；
- 把某一行所有元的 k 倍加到另一行对应的元上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上，记作
。
- 矩阵的初等行变换和初等列变化统称为矩阵的初等变换。
矩阵A与B的等价
如果矩阵 A 经有限次初等行变换变成矩阵 B，就称矩阵 A 与 B 行等价，记作
如果矩阵 A 经有限次初等列变换变成矩阵 B，就称矩阵 A 与 B 列等价，记作
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B，就称矩阵 A 与 B 等价，记作
矩阵之间等价关系具有的性质
- 反身性：A ~ A；
- 对称性：若 A ~ B，则 B ~ A；
- 传递性：若 A ~ B，B ~ C，则 A ~ C 。
行阶梯形矩阵的定义
-
非零矩阵若满足
- 非零行在零行上面；
- 非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在的话）的首非零元所在列的右面。
则称此矩阵为行阶梯形矩阵。
-
进一步，若 A 是行阶梯形矩阵，并满足：
- 非零行的首非零元为 1 ；
- 首非零元所在的列的其他元均为 0 。
则称A为行最简形矩阵。
- 对于任何非零矩阵
，总可以经有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和最简形矩阵。
- 要解线性方程组只需把增广矩阵化为行最简行矩阵。
- 一个矩阵的行最简形矩阵是惟一确定的（行阶梯形矩阵中非零行的行数也是惟一确定的）。
标准形
对行最简形矩阵再施以初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵，称为标准形。
标准形的特点
- 标准形的左上角是一个单位矩阵 E，其余元全为 0 。
- 对于
矩阵 A，总可经过初等变换（行变换和列变换)把它化为标准形
其中 r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数。
定理1
设 A 与 B 为矩阵，那么
-
的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P，使
；
-
的充分必要条件是存在 n 阶可逆矩阵 Q，使
；
-
的充分必要条件使存在 m 阶可逆矩阵 P 以及 n 阶可逆矩阵 Q，使
初等矩阵的定义
由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
性质1
设 A 是一个矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘相应的 n 阶初等矩阵。
-
初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵是同一类型的初等矩阵：
性质2
方阵 A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵，使
推论
方阵 A 可逆的充分必要条件使
第二节 矩阵的秩
矩阵的子式的定义
在矩阵 A 中，任取 k 行与 k 列
，位于这些行列交叉处的
个元素，不改变它们在 A 中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为 A 的 k 阶子式。
-
个。
引理
设，则 **A **与 B 中非零子式的最高阶数相同。
矩阵的秩的定义
设在矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵的秩，记作
。
- 规定零矩阵的秩为零。
-
就是 A 的非零子式的最高阶数。
- 若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不为 0,则
，若 A 中所有 t 阶子式全为 0，则
- 由于行列式与其转置行列式相等，因此
的子式与 A 的子式对应相等，从而
- 对于 n 阶矩阵 A，由于 A 的 n 阶子式只有一个
，故当
时
，当
时
.可见可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数。
定理2
若 ，则
定理2推论
若可逆矩阵P、Q使 ，则
- 把矩阵化为行阶梯形矩阵求秩是方便而有效的方法。
矩阵的秩的性质
矩阵秩基本性质：
常用性质：
列满秩矩阵
矩阵 A 的秩等于它的列数，这样的矩阵叫做列满秩矩阵。当 A 为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵。
矩阵乘法的消去律
设，若A为列满秩矩阵，则
第三节 线性方程组的解
定理3
n 元线性方程
-
无解的充分必要条件使
-
有惟一解的充分必要条件是
-
有无限多解的充分必要条件是
定理4
n 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是
- 定理4是定理3第3点的特殊情形。
定理5
线性方程组有解的充分必要条件是
定理6
矩阵方程有解的充分必要条件是
第四章 向量组的线性相关性
第一节 向量组及其线性组合
向量的定义
n 个有次序的数所组成的数组称为 n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数
称为第 i 个分量。
- 分量全为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量。
- n 为向量可写成一行，也可以写成一列，分别称为行向量和列向量，也就是行矩阵和列矩阵。
向量组的定义
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。
线性组合的定义
给定向量组,对于任一组实数
，表达式
称为向量组A 的一个线性组合，
称为线性组合的系数。
定理1
向量 b 能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵
的秩等于矩阵
的秩。
向量组等价的定义
设有两个向量组：及
，若 B 组中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示，则称这两个向量组等价。
定理2
向量组能由向量组
线性表示的充分必要条件是矩阵
的秩等于矩阵
的秩，即
定理2推论
向量组与向量组
等价的充分必要条件是
其中 A 和 B 是向量组 A 和 B 所构成的矩阵。
定理2‘
向量组能由向量组
线性表示的充分必要条件是
定理3
设向量组能由向量组
线性表示，
则
定理3‘
若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，则
第二节 向量组的线性相关性
定义4
给定向量组，如果存在不全为零的数
，使
，则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关。
- 对于只含一个向量 a 的向量组，当
时是线性相关的，当
时是线性无关的。
定理5
- 若向量组
线性相关，则向量组
也线性相关。反之，若向量组B线性无关，则向量组A线性无关。
- m 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m 时一定线性相关。特别地 n + 1 个 n 维向量一定线性相关。
- 设向量组
线性相关，则向量 b 必能由向量组 A 线性表示，且表示式时惟一的。
第三节 向量组的秩
最大无关组的定义
设有向量组 A，如果在 A 中能选出 r 个向量，满足
- 向量组
线性无关；
- 向量组 A 中任意 r + 1 个向量（如果 A 中有 r + 1 个向量的话）都线性相关
那么称向量组是向量组 A 的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组)，最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩，记作
- 只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为 0 。
- 若向量组 A 线性无关，则 A 自身就是它的最大无关组，而其秩就等于它所含向量的个数。
推论（最大无关组的等价定义）
设向量组是向量组 A 的一个部分组，且满足
- 向量组
线性无关；
- 向量组 A 的任一向量都是能由向量组
那么向量组便是向量组A的一个最大无关组。
定理6
矩阵的秩等于它的列向量的秩，也等于它的行向量的秩。
第四节 线性方程组解的结构
性质1
若为为向量方程
的解，则
也是方程的解。
性质2
若为向量方程
的解，k 为实数，则
也是向量方程的解。
基础解系的定义
齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程的基础解系。
- 求齐次线性方程组的通解，只需要求出它的基础解系。
定理7
设矩阵A的秩
，则 n 元齐次线性方程组
的解集 S 的秩
性质3
设及
都是线性方程
的解，则
为对应的齐次线性方程组
的解。
性质4
设是方程
的解，
是方程
的解，则
仍是方程
的解。
非齐次线性方程的解的结构
非齐次方程的通解 = 对应的齐次方程的通解 + 非齐次方程的一个特解 。
第五节 向量空间
向量空间的定义
设 V 为 n 维向量的集合，如果集合 V 非空，且集合 V 对于向量的加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合 V 为向量空间。
- 封闭：是指在集合 V 中可以进行向量的加法及数乘两种运算。
解空间
n 元齐次线性方程组的解集
是一个向量空间（称为齐次线性方程组的解空间)。
- 解集 S 对向量的线性运算封闭。
子空间的定义
设有向量空间及
，若
，就称
是
的子空间。
定义8
设 V 为向量空间，如果 r 个向量，且满足
-
线性无关；
-
V 中任一向量都可由
线性表示，
那么，向量组就称为向量空间 V 的一个基，r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量空间。
定义9
如果在向量空间 V 中取定一个基，那么 V 中任一向量 x 可惟一地表示为
数组
称为向量 x 在基
中的坐标。
- 特别地，
叫做向量空间
中的自然基。
第五章 相似矩阵及二次型
第一节 向量的内积、长度及正交性
内积的定义
设有 n 维向量令
，
称为向量 x 与 y 的内积。
- 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数，用矩阵记号表示，当 **x ** 与 **y ** 都是列向量时，有
- 当
时，称向量 x 与 y 正交。
内积具有的性质
-
；
-
；
-
；
-
；
施瓦茨不等式
向量长度（范数）的定义
令，
称为 n 维向量 x 的长度（或范数)。
向量长度的性质
-
非负性：当
时，
；当
时，
；
-
齐次性：
；
单位向量
当时，称为单位向量。
定理1
若 n 维向量是一组两两正交的非零向量，则
线性无关。
- 正交向量组线性无关。
标准正交基的定义
设 n 维向量是向量空间
的一个基，如果
两两正交，且都是单位向量，则称
是
的一个标准正交基。
施密特正交化
上述从线性无关向量组导出正交向量组
的过程称为施密特正交化。
正交矩阵的定义
如果 n 阶矩阵 A 满足，那么称 A 为正交矩阵，简称正矩阵。
- 方阵 **A **为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量，且两两正交。
正交矩阵的性质
正交矩阵有以下性质：
- 若 A 为正交矩阵，则
也是正交矩阵，且
；
- 若 A 和 B 都是正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵。
正交变换的定义
若 P 为正交矩阵，则线性变换称为正交变换。
几何不变性
设为正交变换，则有
，由于
表示向量的长度，相当于线段的长度，因此
说明经过正交变换线段长度保持不变（从而三角形形状保持不变)。
第二节 方阵的特征值与特征向量
特征值的定义
设 A 是 n 阶矩阵，如果数和 n 维非零列向量 x 使关系式
成立，那么，这样的数
称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 的对应于特征值
的特征向量。关系式也可写成
，这是个未知数 n 个方程大的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件使系数行列式
，
即
-
为A的特征方程，
称为 A 的特征多项式，显然 A 的特征值就是特征方程的解。
定理2
设使方阵 A 的 m 个特征值，
依次是与之对应的特征向量，如果
各不相等，则
线性无关。
推论
设和
是方阵 **A **的两个不同特征值，
和
分别对应于
和
的线性无关的特征向量，则
线性无关。
第三节 相似矩阵
相似矩阵的定义
设 A、B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵P，使，则称 B 是 A 的相似矩阵，或说矩阵 A 与 B 相似。
定理3
若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征多项式相同，从而 A 与 B 的特征值亦相同。
推论
若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则
即是 A 的 n 个特征值。
定理4
n 阶矩阵 **A **与对角矩阵相似（即 A 能对角化）的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征量。
推论
如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等，则 A 与对角矩阵相似。
第四节 对称矩阵的对角化
性质1
对称矩阵的特征值为实数。
性质2
设是对称矩阵A的两个特征值，
是对应的特征向量。若
，则
与
正交。
定理5
设 A 为 n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵P，使，其中
是以
的 n 个特征值为对角元的对角矩阵。
推论
设 A 为 n 阶对称矩阵，是 A 的特征方程的 k 重根，则矩阵
的秩
，从而对应特征值
恰有 k 个线性无关的特征向量。
第五节 二次型及标准形
二次型的定义
含有 n 个变量的二次齐次函数
称为二次型。
- 当
为复数时，
称为复二次型；当
- 任给一个二次型，就惟一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也惟一地确定一个二次型。因此，我们把对称矩阵 A 叫做二次型
标准形的定义
只含有平方项的二次型，称为二次型的标准形（或法式）。
规范形的定义
如果标准形的系数只在 1 ， -1 ， 0 三个数中取值，则称为二次型的规范形。
合同的定义
设 A 和 B 是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C ，使，则称矩阵 A 与 B 合同。
定理6
任给二次型，总有正交变换
，使
化为标准形
，其中
是
的矩阵
的特征值。
推论
任给 n 元二次型，总有可逆变换
，使
为规范形。
第六节 用配方法化二次型成标准形
第七节 正定二次型
定理7（惯性定理）
设二次型的秩为 r ，且有两个可逆变换
使
或
，则
中正数的个数与
中正数的个数相等。
- 二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性系数，负系数的个数称为负惯性指数。
定义10
设二次型，如果对任何
，都有
（显然
)，则称为正定二次型，并称对称矩阵 A 是正定的；如果对任何
都有
，则称
为负定二次型，并称对称矩阵 A 是负定的。
定理8
n 元二次型为正定的充分必要条件是：它的标准形的 n 个系数全为正，即它的规范形的 n 个系数全为 1 ，亦即它的正惯性指数等于 n 。
推论
对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正。
定理9（赫尔维茨定理）
对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正，
即，
对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，
即