什么是Convolution
Convolution的数学定义是
一般称g为作用在f上的filter或kernel
一维的卷积示意图如下
大家常见的CNN二维卷积示意图如下
在图像里面卷积的概念很直接，因为像素点的排列顺序有明确的上下左右的位置关系。
比如这个社交网络抽象出来的graph里面，有的社交vip会关联上万的节点，这些节点没有空间上的位置关系，也就没办法通过上面给出的传统卷积公式进行计算。
Fourier变换
为了解决graph上卷积计算的问题，我们给出第二个装备--Fourier变换。
先上结论，根据卷积定理，卷积公式还可以写成
这样我们只需要定义graph上的fourier变换，就可以定义出graph上的convolution变换。
好的，先来看下Fourier变换的定义
Inverse Fourier变换则是
根据Fourier变换及其逆变换的定义，下面我们来证明一下卷积定理
我们定义 是
和
的卷积，那么
带入 ;
最后对等式的两边同时作用 ，得到
Laplacian算子
一波未平，又来一个陌生的概念。。。
不要担心，这是出新手村之前的最后一件装备了。
一阶导数定义为
laplacian算子简单的来说就是二阶导数
那在graph上，我们可以定义一阶导数为
其中y是x的邻居节点
那么对应的Laplacian算子可以定义为
定义 是
的度数矩阵(degree matrix)
定义 为
邻接矩阵(adjacency matrix)
那么图上的Laplacian算子可以写成
标准化之后得到
定义Laplacian算子的目的是为了找到Fourier变换的基
比如传统Fourier变换的基 就是Laplacian算法的一组特征向量
,
是一个常数
那么图上的Fourier基就是 矩阵的n个特征向量
，
可以分解为
其中 是特征值组成的对角矩阵
那么Graph Fourier变换可以定义为
其中 可以看做是作用在第
个点上的signal，用向量
来表示
是
的的对偶向量，
是矩阵
的第
行，
是矩阵
的第
行。
那么我们可以用矩阵形式来表示Graph Fourier变换
类似的Inverse Graph Fourier变换定义为
它的矩阵形式表达为
推导Graph Convolution
走到这里，我们已经获得了新手村的所有装备，下面就开始推导GCN的公式。
还记得我们之前提到的先上卷积定理吗
那么图的卷积公式可以表示为
作为图卷积的filter函数 ，我们希望具有很好的局部性。就像CNN模型里的filter一样，只影响到一个像素附近的像素。那么我们可以把
定义成一个laplacian矩阵的函数
作用一次laplacian矩阵相当于在图上传播了一次邻居节点。进一步我们可以把 看做是
一个laplacian特征值的函数，参数为
改写上面的图卷积公式，我们就可以得到论文SEMI-SUPERVISED CLASSIFICATION WITH GRAPH CONVOLUTIONAL NETWORKS
https://arxiv.org/pdf/1609.02907.pdfarxiv.org
的公式(3)
可以看到这个卷积计算的复杂度是非常高的，涉及到求laplacian矩阵的特征向量，和大量的矩阵计算。下面我们考虑对filter函数做近似，目标是省去特征向量的求解
其中 是Chebyshev多项式。这里可以把简单
简单看成是
的多项式。
因为
所以上面filter函数可以写成 的函数
设定 那卷积公式可以简化为
令 ，
那么再加上激活层，我们就可以得到最终的GCN公式
源自知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/p/54505069