统计分布常用于总体的建模，因此我们处理的往往不是单个的分布，而是一族分布。一个分布族共用一个函数形式，其中包含一个或多个参数，用以确定具体的分布。

1 离散分布

1.1 二项分布

（1）参数为 p 的（0-1）分布（Bernoulli）
        分布律 ： P ( X = x ∣ p ) = p x ( 1 − p ) 1 − x ； x = 0 , 1 ； 0 ≤ p ≤ 1 P(X=x|p)=p^x(1-p)^{1-x}；x=0,1；0 \leq p \leq 1 P(X=x∣p)=px(1−p)1−x；x=0,1；0≤p≤1
        期望和方差： E X = p ， D X = p ( 1 − p ) EX=p，DX=p(1-p) EX=p，DX=p(1−p)
        矩母函数： M X ( t ) = ( 1 − p ) + p e t M_X(t)=(1-p)+pe^t MX​(t)=(1−p)+pet

（2）参数为（n，p）的二项分布（Binomial）

        分布律： P ( X = x ∣ n ， p ) = ( n x ) p x ( 1 − p ) n − x ； x = 0 ， 1 ， 2 , ⋯   , n ； 0 ≤ p ≤ 1 P(X=x|n，p)= \begin{pmatrix} n \\ x \\ \end{pmatrix} p^x(1-p)^{n-x}；x=0，1，2,\cdots,n；0 \leq p \leq 1 P(X=x∣n，p)=(nx​)px(1−p)n−x；x=0，1，2,⋯,n；0≤p≤1
        期望和方差： E X = n p ， D X = n p ( 1 − p ) EX=np，DX=np(1-p) EX=np，DX=np(1−p)
        矩母函数： M X ( t ) = [ p e t + ( 1 − p ) ] n M_X(t)=[pe^t +(1-p)]^n MX​(t)=[pet+(1−p)]n

        提示： 多项分布是二项分布在多变量情形下的推广。

（3）categorical分布

        Categorical Distribution，翻译为分类分步、范畴分布，也称作 multinoulli 分布。假设随机变量 X ∈ { 1 , 2 , ⋯   , K } X \in \{1, 2, \cdots, K\} X∈{1,2,⋯,K}，其概率分布函数为：
P ( X = 1 ) = θ 1 P ( X = 2 ) = θ 2 ⋯ P ( X = K − 1 ) = θ K − 1 P ( X = K ) = 1 − ∑ i = 1 K − 1 θ i P(X = 1) = \theta_1 \\ P(X = 2) = \theta_2 \\ \cdots\\ P(X = K - 1) = \theta_{K -1} P(X = K) = 1 -\sum_{i=1}^{K-1}\theta_i P(X=1)=θ1​P(X=2)=θ2​⋯P(X=K−1)=θK−1​P(X=K)=1−i=1∑K−1​θi​
        其中 θ i \theta_i θi​ 为参数，它满足 θ i ∈ [ 0 , 1 ] ， 且 ∑ i = 1 K − 1 θ i ∈ [ 0 , 1 ] \theta_i \in [0, 1]，且 \sum_{i=1}^{K-1}\theta_i \in [0, 1] θi​∈[0,1]，且∑i=1K−1​θi​∈[0,1]。

        注： 由于要处理含参分布，这类分布通常依赖于参数的取值。这里将参数记于概率分布函数中并以 | 为引导符。这个写法对累积分布函数、概率密度函数、期望及其他需要特别指出参数的地方都通用。在不会引发混淆的前提下，也可以略去参数以简化记号。方差可以表示为 DX 或者 Var X。

1.2 离散均匀分布

        分布律： P ( X = x ∣ N ) = 1 N ； x = 1 , 2 , ⋯   , N ； N = 1 , 2 , ⋯ P(X=x|N)=\frac{1}{N}；x=1, 2, \cdots, N；N=1, 2, \cdots P(X=x∣N)=N1​；x=1,2,⋯,N；N=1,2,⋯
        期望和方差： E X = N + 1 2 ， D X = ( N + 1 ) ( N − 1 ) 12 EX=\frac{N+1}{2}，DX=\frac{(N+1)(N-1)}{12} EX=2N+1​，DX=12(N+1)(N−1)​
        矩母函数： M X ( t ) = 1 N ∑ i = 1 N e i t M_X(t) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}e^{it} MX​(t)=N1​∑i=1N​eit

1.3 几何分布

（1）Geometric（p）
        分布律： P ( X = x ∣ p ) = p ( 1 − p ) x − 1 ； x = 1 , 2 , ⋯ ； 0 ≤ p ≤ 1 P(X=x | p)=p(1-p)^{x-1}；x=1, 2, \cdots；0\leq p \leq1 P(X=x∣p)=p(1−p)x−1；x=1,2,⋯；0≤p≤1
        期望和方差： E X = 1 p ， D X = 1 − p p 2 EX = \frac{1}{p}，DX= \frac{1-p}{p^2} EX=p1​，DX=p21−p​
        矩母函数： M X ( t ) = p e t 1 − ( 1 − p ) e t ， t < − log ⁡ ( 1 − p ) M_X(t) = \frac{pe^t}{1-(1-p)e^t}，t < - \log(1-p) MX​(t)=1−(1−p)etpet​，t<−log(1−p)
        注： Y = X − 1 Y=X-1 Y=X−1服从参数为(1, p)的负二项分布。几何分布是无记忆的，即 P ( X > s ∣ X > t ) = P ( X > s − t ) P(X>s | X>t)=P(X>s-t) P(X>s∣X>t)=P(X>s−t)。

1.4 超几何分布

        分布律： P ( X = x ∣ N , M , K ) = ( M x ) ( N − M K − x ) ( N K ) ； x = 0 , 1 , 2 , ⋯   , K ； M − ( N − K ) ≤ x ≤ M ； N , M , K ≥ 0 P(X=x|N, M, K)=\frac{\begin{pmatrix} M \\ x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ K-x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N \\ K \end{pmatrix}}；x=0, 1, 2, \cdots, K；M-(N-K) \leq x \leq M；N, M, K \geq 0 P(X=x∣N,M,K)=(NK​)(Mx​)(N−MK−x​)​；x=0,1,2,⋯,K；M−(N−K)≤x≤M；N,M,K≥0
        期望和方差： E X = K M N ， D X = K M N ( N − M ) ( N − K ) N ( N − 1 ) EX = \frac{KM}{N}，DX= \frac{KM}{N}\frac{(N-M)(N-K)}{N(N-1)} EX=NKM​，DX=NKM​N(N−1)(N−M)(N−K)​
        注：如果 K ≤ M , N K \leq M, N K≤M,N，则 x 的范围 x = 0 , 1 , 2 , ⋯   , K x=0, 1, 2, \cdots, K x=0,1,2,⋯,K 是适宜的。

1.5 负二项分布

（1）参数为（r, p）的负二项分布 NB（r, p）
        分布律： P ( X = x ∣ r , p ) = ( r + x − 1 x ) p r ( 1 − p ) x ； x = 0 , 1 , ⋯ ； 0 ≤ p ≤ 1 P(X=x | r, p)=\begin{pmatrix} r+x-1 \\ x \end{pmatrix}p^r(1-p)^x；x=0, 1, \cdots；0 \leq p \leq 1 P(X=x∣r,p)=(r+x−1x​)pr(1−p)x；x=0,1,⋯；0≤p≤1
        期望和方差： E X = r ( 1 − p ) p ， D X = r ( 1 − p ) p 2 EX = \frac{r(1-p)}{p}，DX= \frac{r(1-p)}{p^2} EX=pr(1−p)​，DX=p2r(1−p)​
        矩母函数： M X ( t ) = ( p 1 − ( 1 − p ) e t ) r ， t < − log ⁡ ( 1 − p ) M_X(t) = (\frac{p}{1-(1-p)e^t})^r，t < - \log(1-p) MX​(t)=(1−(1−p)etp​)r，t<−log(1−p)
        注：分布律的另一个形式为 P ( Y = y ∣ r , p ) = ( y − 1 r − 1 ) p r ( 1 − p ) y − r ， y = r , r + 1 , ⋯ P(Y=y | r, p)=\begin{pmatrix} y-1 \\ r-1 \end{pmatrix}p^r(1-p)^{y-r}，y=r, r+1, \cdots P(Y=y∣r,p)=(y−1r−1​)pr(1−p)y−r，y=r,r+1,⋯。相应的随机变量为 Y = X + r Y=X+r Y=X+r。负二项分布可以从 Poisson 分布的伽玛混合得到。

1.6 Poisson分布

（1） P o i s s o n ( λ ) Poisson(\lambda) Poisson(λ)
        分布律： P ( X = x ∣ λ ) = e − λ x ! ； x = 0 , 1 , ⋯ ； 0 ≤ λ < ∞ P(X=x | \lambda)=\frac{e^{-\lambda}}{x!}；x=0, 1, \cdots；0 \leq \lambda < \infty P(X=x∣λ)=x!e−λ​；x=0,1,⋯；0≤λ<∞
        期望和方差： E X = λ ， D X = λ EX = \lambda，DX = \lambda EX=λ，DX=λ
        矩母函数： M X ( t ) = e λ ( e t − 1 ) M_X(t) =e^{\lambda(e^t -1)} MX​(t)=eλ(et−1)

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2 连续分布

2.1 均匀分布

（1） U n i f o r m （ a , b ） Uniform（a, b） Uniform（a,b）
        概率密度函数： f ( x ∣ a , b ) = 1 b − a ， a ≤ x ≤ b f(x | a, b) = \frac{1}{b-a}，a \leq x \leq b f(x∣a,b)=b−a1​，a≤x≤b
        期望和方差： E X = b + a 2 ， D X = ( b − a ) 2 12 EX = \frac{b + a}{2}，DX = \frac{(b - a)^2}{12} EX=2b+a​，DX=12(b−a)2​
        矩母函数： M X ( t ) = e b t − e a t ( b − a ) t M_X(t) = \frac{e^{bt} - e^{at}}{(b-a)^t} MX​(t)=(b−a)tebt−eat​
        注：如果 a = 0，b = 1，则是贝塔分布的特例 ( α = β = 1 ) (\alpha = \beta = 1) (α=β=1)。

2.2 指数分布

（1）EXPO ( β ) (\beta) (β)
        概率密度函数： f ( x ∣ λ ) = e − x / λ λ ， 0 ≤ x < ∞ ， λ > 0 f(x | \lambda) = \frac{e^{-x / \lambda}}{\lambda}，0 \leq x < \infty，\lambda > 0 f(x∣λ)=λe−x/λ​，0≤x<∞，λ>0
        期望和方差： E X = λ ， D X = λ EX = \lambda，DX = \lambda EX=λ，DX=λ
        矩母函数： M x ( t ) = 1 1 − λ t ， t < 1 λ M_x(t)=\frac{1}{1- \lambda t}，t < \frac{1}{\lambda} Mx​(t)=1−λt1​，t<λ1​
        注：伽玛分布的特殊情况。具有无记忆性。有许多特殊结果： Y = X 1 / γ Y=X^{1/ \gamma} Y=X1/γ 服从Weibull分布， Y = ( 2 X / λ ) Y = \sqrt{(2X/\lambda)} Y=(2X/λ) ​ 服从 Rayleigh 分布， Y = α − γ log ⁡ ( X / λ ) Y = \alpha - \gamma \log(X/\lambda) Y=α−γlog(X/λ)服从 Gumbel 分布。

2.3 正态分布

（1） n （ μ , σ 2 ） n（\mu, \sigma^2） n（μ,σ2）
        概率密度函数： f ( x ∣ μ , σ 2 ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 / ( 2 σ 2 ) ， − ∞ < x < ∞ ， − ∞ < μ < ∞ ， σ > 0 f(x | \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}，-\infty < x < \infty，-\infty < \mu < \infty，\sigma > 0 f(x∣μ,σ2)=2π ​σ1​e−(x−μ)2/(2σ2)，−∞<x<∞，−∞<μ<∞，σ>0
        期望和方差： E X = μ ， D X = σ 2 EX = \mu，DX= \sigma^2 EX=μ，DX=σ2
        矩母函数： M X ( t ) = e μ t + σ 2 t 2 / 2 M_X(t) = e^{\mu t + \sigma^2 t^2/2} MX​(t)=eμt+σ2t2/2
        注：有时称为 Gauss（高斯）分布。

2.4 卡方分布

（1）卡方分布（p） χ ν 2 \chi_{\nu}^{2} χν2​
        概率密度函数： f ( x ∣ ν ) = 1 Γ ( ν / 2 ) 2 ν / 2 x ( ν − 2 ) / 2 e − x / 2 ； 0 ≤ x < ∞ ； ν = 1 , 2 , ⋯ f(x | \nu) = \frac{1}{\Gamma(\nu/2)2^{\nu/2}}x^{(\nu-2)/2}e^{-x/2}；0 \leq x < \infty；\nu=1, 2, \cdots f(x∣ν)=Γ(ν/2)2ν/21​x(ν−2)/2e−x/2；0≤x<∞；ν=1,2,⋯
        期望和方差： E X = ν ， D X = 2 ν EX = \nu，DX = 2\nu EX=ν，DX=2ν
        矩母函数： M X ( t ) = ( 1 1 − 2 t ) ν / 2 ， t < 1 2 M_X(t) = (\frac{1}{1-2t})^{\nu/2}，t<\frac{1}{2} MX​(t)=(1−2t1​)ν/2，t<21​
        注：伽玛分布的特殊情况。

2.5 t分布

        概率密度函数： f ( x ∣ ν ) = Γ ( ν + 1 2 ) Γ ( ν 2 ) 1 ν π 1 ( 1 + ( x 2 ν ) ) ( ν + 1 ) / 2 ， − ∞ < x < ∞ ， ν = 1 , ⋯ f(x | \nu) = \frac{\Gamma(\frac{\nu + 1}{2})}{\Gamma(\frac{\nu}{2})} \frac{1}{\sqrt{\nu \pi}} \frac{1}{(1+(\frac{x^2}{\nu}))^{(\nu +1)/2}}，-\infty < x < \infty，\nu =1, \cdots f(x∣ν)=Γ(2ν​)Γ(2ν+1​)​νπ ​1​(1+(νx2​))(ν+1)/21​，−∞<x<∞，ν=1,⋯
        期望和方差： E X = 0 , ν > 1 ， D X = ν ν − 2 , ν > 2 EX = 0, \nu > 1，DX = \frac{\nu}{\nu - 2}, \nu > 2 EX=0,ν>1，DX=ν−2ν​,ν>2
        矩：
E X n = { Γ ( n + 1 2 ) Γ ( ν − n 2 ) π Γ ( ν 2 ) ν n / 2 ， 如果  n < ν  且为偶数 ， 0 ， 如果  n < ν  且为奇数 EX^n = \begin{cases} \frac{\Gamma(\frac{n + 1}{2}) \Gamma(\frac{\nu - n}{2})}{\sqrt \pi \Gamma(\frac{\nu}{2})} \nu^{n/2}，& \text{如果 $n < \nu$ 且为偶数}，\\ 0，& \text{如果 $n< \nu$ 且为奇数} \end{cases} EXn={π ​Γ(2ν​)Γ(2n+1​)Γ(2ν−n​)​νn/2，0，​如果 n<ν 且为偶数，如果 n<ν 且为奇数​
        注：矩母函数不存在，与 F 分布有关系。（ F 1 , ν = t ν 2 F_{1, \nu} = t_{\nu}^{2} F1,ν​=tν2​）

2.6 F分布

        概率密度函数： f ( x ∣ ν 1 , ν 2 ) = Γ ( ν 1 + ν 2 2 ) Γ ( ν 1 2 ) Γ ( ν 2 2 ) ( ν 1 ν 2 ) ν 1 / 2 x ( ν 1 − 2 ) / 2 ( 1 + ( ν 1 ν 2 ) x ) ( ν 1 + ν 2 ) / 2 ； 0 ≤ x < ∞ ； ν 1 , ν 2 = 1 , ⋯ f(x | \nu_1, \nu_2) = \frac {\Gamma(\frac{\nu_1 + \nu_2}{2})}{\Gamma (\frac{\nu_1}{2})\Gamma (\frac{\nu_2}{2})}(\frac{\nu_1}{\nu_2})^{\nu_1 / 2}\frac{x^{(\nu_1-2)/2}}{(1+(\frac{\nu_1}{\nu_2})x)^{(\nu_1+\nu_2)/2}}；0 \leq x < \infty；\nu_1, \nu_2 = 1, \cdots f(x∣ν1​,ν2​)=Γ(2ν1​​)Γ(2ν2​​)Γ(2ν1​+ν2​​)​(ν2​ν1​​)ν1​/2(1+(ν2​ν1​​)x)(ν1​+ν2​)/2x(ν1​−2)/2​；0≤x<∞；ν1​,ν2​=1,⋯
        期望和方差： E X = ν 2 ν 2 − 2 ， ν 2 > 2 , D X = 2 ( ν 2 ν 2 − 2 ) 2 ( ν 1 + ν 2 − 2 ) ν 1 ( ν 2 − 4 ) ， ν 2 > 4 EX = \frac{\nu_2}{\nu_2-2}，\nu_2 > 2, DX= 2(\frac{\nu_2}{\nu_2 - 2})^2 \frac{(\nu_1 + \nu_2 -2)}{\nu_1(\nu_2-4)}，\nu_2 > 4 EX=ν2​−2ν2​​，ν2​>2,DX=2(ν2​−2ν2​​)2ν1​(ν2​−4)(ν1​+ν2​−2)​，ν2​>4
        矩： E X n = Γ ( ν 1 + 2 n 2 ) Γ ( ν 2 − 2 n 2 ) Γ ( ν 1 2 ) Γ ( ν 2 2 ) ( ν 2 ν 1 ) n ； n < ν 2 2 EX^n = \frac {\Gamma(\frac{\nu_1 + 2n}{2}) {\Gamma (\frac{\nu_2 - 2n}{2})}} {\Gamma (\frac{\nu_1}{2}) \Gamma (\frac{\nu_2}{2})}(\frac{\nu_2}{\nu_1})^n；n < \frac{\nu_2}{2} EXn=Γ(2ν1​​)Γ(2ν2​​)Γ(2ν1​+2n​)Γ(2ν2​−2n​)​(ν1​ν2​​)n；n<2ν2​​

        注：矩母函数不存在，与卡方分布和 t 分布有关 ( F ν 1 , ν 2 = ( χ ν 1 2 ν 1 ) / ( χ ν 2 2 ν 2 ) ， 其 中 两 个 χ 2 变 量 独 立 ； F 1 , ν = t ν 2 ) (F_{\nu_1, \nu_2} = (\frac{\chi_{\nu_1}^{2}}{\nu_1})/(\frac{\chi_{\nu_2}^{2}}{\nu_2})，其中两个 \chi^2 变量独立；F_{1, \nu} = t_{\nu}^{2}) (Fν1​,ν2​​=(ν1​χν1​2​​)/(ν2​χν2​2​​)，其中两个χ2变量独立；F1,ν​=tν2​)。

2.7 贝塔分布

（1） B e t a ( α , β ) Beta(\alpha, \beta) Beta(α,β)
        概率密度函数： f ( x ∣ α , β ) = 1 B ( α , β ) x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 ， 0 ≤ x ≤ 1 ， α > 0 ， β > 0 f(x | \alpha, \beta) = \frac{1}{\Beta(\alpha, \beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}，0 \leq x \leq 1， \alpha > 0，\beta > 0 f(x∣α,β)=B(α,β)1​xα−1(1−x)β−1，0≤x≤1，α>0，β>0
        期望和方差： E X = α α + β ， D X = α β ( α + β ) 2 ( α + β + 1 ) EX = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}，DX = \frac{\alpha \beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha + \beta +1)} EX=α+βα​，DX=(α+β)2(α+β+1)αβ​
        矩母函数： M X ( t ) = 1 + ∑ k = 1 ∞ ( ∏ γ = 0 k − 1 α + γ α + β + γ ) t k k ! M_X(t) = 1 + \sum_{k=1}^{\infty}(\prod_{\gamma=0}^{k-1}\frac{\alpha+\gamma}{\alpha+\beta+\gamma})\frac{t^k}{k!} MX​(t)=1+∑k=1∞​(∏γ=0k−1​α+β+γα+γ​)k!tk​

        注：贝塔概率密度函数中的常数可以用伽马函数来表示： B ( α , β ) = Γ ( α ) Γ ( β ) Γ ( α + β ) \Beta(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)} B(α,β)=Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)​

2.8 Cauchy分布

（1） C a u c h y ( α , β ) Cauchy(\alpha, \beta) Cauchy(α,β)
        概率密度函数： f ( x ∣ α , β ) = 1 π β [ 1 + ( x − α β ) 2 ] ， − ∞ < x < ∞ ， − ∞ < α < ∞ ， β > 0 f(x | \alpha, \beta) = \frac{1}{\pi \beta[1+(\frac{x-\alpha}{\beta})^2}]，-\infty < x < \infty，-\infty < \alpha < \infty，\beta > 0 f(x∣α,β)=πβ[1+(βx−α​)21​]，−∞<x<∞，−∞<α<∞，β>0
        期望和方差：不存在
        矩母函数：不存在
        注：t 分布当*度=1时的特殊情况。此外，如果 X 和 Y 独立同 n ( 0 , 1 ) n(0, 1) n(0,1)，X/Y 是Cauchy 随机变量。

2.9 Laplace分布

        拉普拉斯分布是以皮埃尔-西蒙·拉普拉斯的名字命名的一种连续概率分布。由于它可以看作是两个不同位置的指数分布背靠背拼接在一起，所以它也叫作双指数分布。
（1）DEXPO ( μ , σ ) (\mu, \sigma) (μ,σ)
        概率密度函数： f ( x ∣ μ , σ ) = 1 2 σ e − ∣ x − μ ∣ σ ， − ∞ < x < ∞ ， − ∞ < μ < ∞ ， σ > 0 f(x | \mu, \sigma) = \frac{1}{2 \sigma}e^{-\frac{\lvert x-\mu\rvert }{\sigma}}，-\infty < x < \infty，-\infty < \mu < \infty，\sigma > 0 f(x∣μ,σ)=2σ1​e−σ∣x−μ∣​，−∞<x<∞，−∞<μ<∞，σ>0
        期望和方差： E X = μ ， D X = 2 σ 2 EX = \mu，DX = 2 \sigma^2 EX=μ，DX=2σ2
        矩母函数： M X ( t ) = ( e μ t 1 − ( σ t ) 2 ) ， ∣ t ∣ < 1 σ M_X(t) = (\frac{e^{\mu t}}{1-(\sigma t)^2})，\lvert t \rvert <\frac{1}{\sigma} MX​(t)=(1−(σt)2eμt​)，∣t∣<σ1​
        注：也称为Laplace分布。

2.10 伽玛分布

（1） G a m m a （ α , β ） Gamma（\alpha, \beta） Gamma（α,β）
        概率密度函数： f ( x ∣ α , β ) = 1 Γ ( α ) β α x α − 1 e − x / β ； 0 ≤ x < ∞ ； α , β > 0 f(x | \alpha, \beta) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}；0 \leq x < \infty；\alpha, \beta > 0 f(x∣α,β)=Γ(α)βα1​xα−1e−x/β；0≤x<∞；α,β>0
        期望和方差： E X = α β ， D X = α β 2 EX = \alpha\beta，DX = \alpha \beta^2 EX=αβ，DX=αβ2
        矩母函数： M X ( t ) = ( 1 1 − β t ) α ， t < 1 β M_X(t)=(\frac{1}{1-\beta t})^\alpha，t < \frac{1}{\beta} MX​(t)=(1−βt1​)α，t<β1​
        注：有两个特殊情况：指数分布 ( α = 1 ) (\alpha = 1) (α=1) 和卡方分布 ( α = p / 2 ， β = 2 ) (\alpha = p/2，\beta =2) (α=p/2，β=2)。若 α = 3 / 2 ， Y = X / β \alpha = 3/2，Y = \sqrt{X/ \beta} α=3/2，Y=X/β ​ 是 Maxwell 分布。Y=1/X 有逆伽玛分布。也与Poisson分布有关系。

2.11 罗吉斯蒂克分布

（1） L o g i s t i c （ ν , β ） Logistic（\nu, \beta） Logistic（ν,β）
        概率密度函数： f ( x ∣ μ , β ) = 1 β e − ( x − μ ) / β [ 1 + e − ( x − μ ) / β ] 2 ， − ∞ < x < ∞ ， − ∞ < μ < ∞ ， β > 0 f(x | \mu, \beta) = \frac{1}{\beta}\frac{e^{-(x-\mu)/\beta}}{[1+e^{-(x-\mu)/\beta}]^2}，-\infty < x < \infty，-\infty < \mu < \infty，\beta > 0 f(x∣μ,β)=β1​[1+e−(x−μ)/β]2e−(x−μ)/β​，−∞<x<∞，−∞<μ<∞，β>0
        期望和方差： E X = μ ， D X = π 2 β 2 3 EX = \mu，DX = \frac{\pi^2 \beta^2}{3} EX=μ，DX=3π2β2​
        矩母函数： M X ( t ) = e μ t Γ ( 1 − β t ) Γ ( 1 + β t ) ， ∣ t ∣ < 1 β M_X(t) = e^{\mu t}\Gamma(1 - \beta t)\Gamma(1 + \beta t)，\lvert t \rvert < \frac{1}{\beta} MX​(t)=eμtΓ(1−βt)Γ(1+βt)，∣t∣<β1​
        注：分布函数为 f ( x ∣ μ , β ) = 1 1 + e − ( x − μ ) / β ， − ∞ < x < ∞ ， − ∞ < μ < ∞ ， β > 0 f(x | \mu, \beta) = \frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/\beta}}，-\infty < x < \infty，-\infty < \mu < \infty，\beta > 0 f(x∣μ,β)=1+e−(x−μ)/β1​，−∞<x<∞，−∞<μ<∞，β>0

2.12 对数正态分布

（1） L N （ μ , σ 2 ） LN（\mu, \sigma^2） LN（μ,σ2）
        概率密度函数： f ( x ∣ μ , σ 2 ) = 1 2 π σ e − ( log ⁡ x − μ ) 2 / ( 2 σ 2 ) x ， 0 ≤ x < ∞ ， − ∞ < μ < ∞ ， σ > 0 f(x | \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\frac{e^{-(\log x-\mu)^2/(2\sigma^2)}}{x}，0 \leq x < \infty，-\infty < \mu < \infty，\sigma > 0 f(x∣μ,σ2)=2π ​σ1​xe−(logx−μ)2/(2σ2)​，0≤x<∞，−∞<μ<∞，σ>0
        期望和方差： E X = e μ + ( σ 2 / 2 ) ， D X = e 2 ( μ + σ 2 ) − e 2 μ + σ 2 EX = e^{\mu+(\sigma^2/2)}，DX= e^{2(\mu + \sigma^2)} - e^{2\mu + \sigma^2} EX=eμ+(σ2/2)，DX=e2(μ+σ2)−e2μ+σ2
        矩： E X n = e n μ + n 2 σ 2 / 2 EX^n = e^{n\mu + n^2\sigma^2/2} EXn=enμ+n2σ2/2

2.13 Pareto分布

（1） P a r e t o （ α , β ） Pareto（\alpha, \beta） Pareto（α,β）
        概率密度函数： f ( x ∣ α , β ) = β α β x β + 1 ， α < x < ∞ ， α > 0 ， β > 0 f(x | \alpha, \beta) = \frac{\beta\alpha^\beta}{x^{\beta+1}}，\alpha < x < \infty，\alpha > 0，\beta > 0 f(x∣α,β)=xβ+1βαβ​，α<x<∞，α>0，β>0
        期望和方差： E X = β α β − 1 , β > 1 ， D X = β α 2 ( β − 1 ) 2 ( β − 2 ) , β > 2 EX = \frac{\beta\alpha}{\beta -1}, \beta > 1，DX = \frac{\beta\alpha^2}{(\beta - 1)^2(\beta - 2)}, \beta > 2 EX=β−1βα​,β>1，DX=(β−1)2(β−2)βα2​,β>2
        注：矩母函数不存在。

2.14 Weibull分布

（1） W e i b u l l （ α , β ） Weibull（\alpha, \beta） Weibull（α,β）
        概率密度函数： f ( x ∣ α , β ) = α x α − 1 e − ( x β ) α β α ， 0 ≤ x < ∞ ， α > 0 ， β > 0 f(x | \alpha, \beta) = \frac{\alpha x^{\alpha - 1} e^{-(\frac{x}{\beta})^{\alpha}}}{\beta^\alpha}，0 \leq x < \infty，\alpha > 0，\beta > 0 f(x∣α,β)=βααxα−1e−(βx​)α​，0≤x<∞，α>0，β>0
        期望和方差： E X = β Γ ( 1 + 1 α ) ， D X = β 2 [ Γ ( 1 + 2 α ) − Γ 2 ( 1 + 1 α ) ] EX = \beta \Gamma(1+\frac{1}{\alpha})，DX = \beta^2[\Gamma(1+ \frac{2}{\alpha})-{\Gamma^2(1+ \frac{1}{\alpha})}] EX=βΓ(1+α1​)，DX=β2[Γ(1+α2​)−Γ2(1+α1​)]
        矩： E X n = β n Γ ( 1 + n α ) EX^n = \beta^{n}\Gamma(1 + \frac{n}{\alpha}) EXn=βnΓ(1+αn​)
        注：仅当 α ≥ 1 \alpha \geq 1 α≥1 时矩母函数存在，其形式不大有用。一个特例是指数分布（ α = 1 \alpha =1 α=1）。

2.15 逆高斯分布

        逆高斯分布（Inverse Gaussian distribution）是统计学中一种常用的分布。

        概率密度函数： f ( x ∣ μ , λ ) = ( λ 2 π ) 1 / 2 x − 3 / 2 e − λ 2 x ( x − μ μ ) 2 f(x | \mu, \lambda) = (\frac{\lambda}{2 \pi})^{1/2} x^{-3/2} e^{- \frac{\lambda}{2x} (\frac{x - \mu}{\mu})^2} f(x∣μ,λ)=(2πλ​)1/2x−3/2e−2xλ​(μx−μ​)2
        期望和方差： E X = μ ， D X = μ 3 λ EX = \mu，DX = \frac{\mu^3}{\lambda} EX=μ，DX=λμ3​

        注：Wald分布式 μ = λ = 1 \mu = \lambda =1 μ=λ=1 时逆高斯分布的特例。当 λ \lambda λ 趋近于无穷时，逆高斯分布逐渐趋近于高斯分布（即正态分布），逆高斯分布有多项类似于高斯分布的特性。“逆”可能容易引起混淆，其实它的含义是高斯分布描述的是在布朗运动中某一固定时刻的距离分布，而逆高斯分布描述的是到达固定距离所需时间的分布。

2.16 kumaraswamy

        分布概率密度函数： f ( x ∣ a , b ) = a b x a − 1 ( 1 − x a ) b − 1 , 0 < x < 1 f(x | a, b) = abx^{a-1}(1-x^a)^{b-1}, 0 < x <1 f(x∣a,b)=abxa−1(1−xa)b−1,0<x<1
        期望和方差： E X = b B ( 1 + 1 a , b ) ， D X = b B ( 1 + 2 a , b ) − ( b B ( 1 + 1 a , b ) ) 2 EX = bB(1 + \frac{1}{a}, b)，DX = bB(1 + \frac{2}{a}, b) - (bB(1 + \frac{1}{a}, b))^2 EX=bB(1+a1​,b)，DX=bB(1+a2​,b)−(bB(1+a1​,b))2

        常见各种分布之间关系：

        上述各分布的Python代码实现：https://gitee.com/carpediem2021/math.git

参考

1. 概率论与随机过程：http://www.huaxiaozhuan.com/数学基础/chapters/2_probability.html
2. 基本的概率分布：https://docs.pymc.io/api/distributions/continuous.html
3. 基本分布概率教程：https://github.com/graykode/distribution-is-all-you-need
4. 单变量概率分布关系：http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/UDR.html