信息学奥赛一本通（1238：一元三次方程求解）

2023-12-13 09:20:46

1238：一元三次方程求解

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【题目描述】

形如：ax^3+bx^2+cx+d=0 这样的一个一元三次方程。

给出该方程中各项的系数(a，b，c，d 均为实数)，并约定该方程存在三个不同实根(根的范围在−100至100之间)，且根与根之差的绝对值≥1。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后2位。

【输入】

一行，包含四个实数a，b，c，d，相邻两个数之间用单个空格隔开。

【输出】

一行，包含三个实数，为该方程的三个实根，按从小到大顺序排列，相邻两个数之间用单个空格隔开，精确到小数点后2位。

【输入样例】

1.0 -5.0 -4.0 20.0

【输出样例】

-2.00 2.00 5.00

【分析】

数学中，一个十分基本的问题是求给定方程的解。如下列方程：

4X^5 - 3X^4 + 2X^3 + 6X^2 + 5X - 7 = 0

x+ sinx - 3=0

x^10 -10x = 0

lgx - x^2 + 7x + 5 = 0

它们的一般形式可表示为：f(x)=0。方程的根或解是使f(x)等于0的那些x的值。这里，我们仅考虑x为实数的情况。方程f(x)=0可能无根，有单根、多根，甚至有无穷多根。求解这个问题，可以采用枚举法，也可以采用分治法。

方法1：枚举法。分析一下，根的范围在-100到100之间，以根为枚举对象，枚举范围是-100到100，因为结果要保留两位小数，故此，步长为0.001。将枚举的根，代入原方程，利用误差法，对原方程式进行一一验证，找出方程的解。

【参考代码1】

#include <stdio.h>
#include <math.h>
double a,b,c,d;
double f(double x)
{
	return ((a*x+b)*x+c)*x+d;
}
int main()
{
	double i;
	scanf("%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d);
	for(i=-100;i<=100;i+=0.001)
	  if(fabs(f(i))<1e-6)
	     printf("%.2lf ",i);
	printf("\n");
	return 0;
}

方法2：分治法。二分法要求将方程改写成f(x)=0的形式，然后y=f(x)。先选取x1和x2两点，使f(x1)和f(x2)异号。由于y=f(x)是连续不断的曲线，故在x1和x2之间至少有一个根存在。先将可变区间[x1,x2]两等分，求出其中点，即x3=(x1+x2)/2，然后求出函数在中点处的值f(x3)。若f(x3)与f(x1)同号，则新的可变区间就是[x3,x2]；如果异号，则新的可变区间是[x1,x3]；如果f(x3)=0，则求解完毕。如此重复叠代下去，直至可变区间之长度小于某个预先给定的值为止，或者达到f(x) = 0。

【参考代码2】

#include<stdio.h>
#include<math.h>
double a,b,c,d;
double F(double x)
{
	return  ((a*x+b)*x+c)*x+d;
}
int main()
{
	int i;
	double x1,x2,xb;
	scanf("%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d);
	for(i=-100;i<=100;i++)
	{
		x1=i;
		x2=i+0.99999;         //注意此处不能用 x2=i+1，否则 else if 分支求一个，if分支又求一个，重复了
		if(fabs(F(x1))<1e-6)
		  printf("%.2lf ",x1);
		else if(F(x1)*F(x2)<0)
		{
			xb=(x1+x2)/2;
			while(fabs(x2-x1)>1e-6)     // x1 != x2,  二分法找到根 
			{
				if(F(x1)*F(xb)>0)
				  x1=xb;
				else
				  x2=xb;
				xb=(x1+x2)/2; 
			}
			printf("%.2lf ",xb); 
		}
	}
	printf("\n");
	return 0;
}

http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1238

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