常用涡识别方法的Tecplot实现（Q准则、λ2 准则、delta准则、Omega准则）
惯例声明：本人没有相关的工程应用经验，只是纯粹对相关算法感兴趣才写此博客。所以如果有错误，欢迎在评论区指正，不胜感激。本文主要关注于算法的实现，对于实际应用等问题本人没有任何经验，所以也不再涉及。
本来想写一个拉格朗日结构LSC的文章，但是不知道是算法理解有问题还是计算参数设置问题，自己搞的结果总是神似形不似，所以放弃，改写一个偏实际应用方面的。
0 前言
0.1 欧拉法涡识别
欧拉法涡识别基于函数与场论的思想，对流场的信息进行计算加工，得到描述涡的函数。之后对涡函数取截面或等值面等方法，展示涡的结构。
大多数欧拉法涡识别都具有平移不变性，即涡识别结果不会因为场的平移而变化。
但是大多数欧拉法涡识别都不具备旋转不变性，即涡识别结果会因为坐标系定义的方向变化而变化（尤其是旋转坐标系下的涡识别）。
常用的涡识别方法有涡量法、Q方法、λ2方法（Lambda-2）、Δ方法（Delta）、λci方法（Lambda-ci)、Ω方法(Omega）。具体的原理不再细说，本文只介绍最终结果。
本文的参考文献以及术语定义来源为：
[1]第三代涡识别方法及其应用综述（王义乾, 桂南）2019
[2]A review of methods for vortex identification in hydroturbines（张宇宁）2018
[3]Tecplot官方Github：https://github.com/Tecplot/handyscripts/tree/master/macro
0.2 Tecplot中的涡识别
Tecplot在新版本中陆续添加了很多新的涡识别方法，以Q准则为例。
第一步，点击Analyze中的Calculate Variables
第二步，点击Select，选择Q Criterion，选择Ok。然后点击Calculate计算即可。
如果由于Tecplot的版本太低，或者想要计算的涡识别方法没有被Tecplot收录，就需要自己计算编辑计算了。当然，优先用Tecplot自带的函数计算，那些函数计算经过优化更省时间。
那么可以采取下面的方法：
第一步，点击Data里的Alter，选择Specify Equations
第二步：输入公式，点击Compute计算（这里用到的公式在后面会给出，不用抄）
这里注意Tecplot的公式格式：
1 次方用的不是^，而是**
2 变量用花括号{}括起来，具体变量名称参考Data Set Info里面，不同软件不同设置得到的变量名称往往不一样。（也可以用V3来的形式，来表示第3个变量，变量顺序同样参考Data Set Info）
1 涡量法
涡量法是描述涡最简单的方法，但是难以区分旋转导致的涡与剪切导致的涡（比如会把边界层识别出来）。而且难以识别虽然涡量较小但是结构清晰的涡。
一般选择Q>0的某个等值面作为涡。
Tecplot内Analyze中的Calculate Variables中，自带函数Vorticity Magnitude计算涡量。
由于内置函数计算速度远大于自己编辑的公式，所以不再给出函数。
2 Q方法
这个是最经典的方法，计算量小，而且结果也很不错，推荐使用。
Tecplot内Analyze中的Calculate Variables中，自带函数Q Criterion
由于内置函数计算速度远大于自己编辑的公式，所以尽可能用Tecplot内的函数。
公式为
Q
=
0.5
∗
(
∥
B
∥
F
2
−
∥
A
∥
F
2
)
Q=0.5*(\lVert B \rVert _{F}^{2} - \lVert A \rVert _{F}^{2})
Q=0.5∗(∥B∥F2−∥A∥F2)
其中，
∥
B
∥
F
2
\lVert B \rVert _{F}^{2}
∥B∥F2表示矩阵B的范数的平方，等同于矩阵B所有元素的平方和。
而矩阵A和矩阵B分别为速度梯度的对称张量和反对称张量，即：
A
=
0.5
∗
(
Δ
V
+
Δ
V
T
)
A=0.5*(\Delta V + \Delta V^{T})
A=0.5∗(ΔV+ΔVT)
B
=
0.5
∗
(
Δ
V
−
Δ
V
T
)
B=0.5*(\Delta V - \Delta V^{T})
B=0.5∗(ΔV−ΔVT)
其中T代表矩阵的转置。速度张量的定义如下：
Δ
V
=
(
Ux
Uy
Uz
Vx
Vy
Vz
Wx
Wy
Wz
)
\Delta V=\left( \begin{array}{ccc} \text{Ux} & \text{Uy} & \text{Uz} \\ \text{Vx} & \text{Vy} & \text{Vz} \\ \text{Wx} & \text{Wy} & \text{Wz} \\ \end{array} \right)
ΔV=⎝⎛UxVxWxUyVyWyUzVzWz⎠⎞
2.1 2D的Tecplot公式
{Ux}=ddx({X Velocity})
{Uy}=ddy({X Velocity})
{Vx}=ddx({Y Velocity})
{Vy}=ddy({Y Velocity})
{Q}=0.5*(-{Ux}**2 -{Vy}**2-2*{Uy}*{Vx})
2.2 3D的Tecplot公式
{Ux}=ddx({X Velocity})
{Uy}=ddy({X Velocity})
{Uz}=ddz({X Velocity})
{Vx}=ddx({Y Velocity})
{Vy}=ddy({Y Velocity})
{Vz}=ddz({Y Velocity})
{Wx}=ddx({Z Velocity})
{Wy}=ddy({Z Velocity})
{Wz}=ddz({Z Velocity})
{Q}=0.5*(-{Ux}**2 -{Vy}**2 - {Wz}**2- 2*{Uz}*{Wx} - 2*{Vz}*{Wy} - 2*{Uy}*{Vx})
3 λ2方法
该方法是利用当地的压强最低点来判定涡的位置，因为涡核处压强比较小。经过输运方程的无粘不可压假设推导，可以得到λ2方法的计算公式。
相比较Q方法，λ2方法的公式比较复杂。首先需要计算A^2+B^2，然后再计算其特征根，按照大小排序选择第2个特征值，作为涡的判据。这里λ2方法中的λ2就是指的是这个特征值。
这里参考博客：流体中相干涡结构在tecplot中的可视化-Q判据及λ2判据
一般选择λ2<0的某个等值面作为涡。
其中，A^2+B^2的公式可以化简为
A
2
+
B
2
=
(
U
x
2
+
U
y
V
x
+
U
z
W
x
1
2
(
(
U
x
+
V
y
)
(
U
y
+
V
x
)
+
V
z
W
x
+
U
z
W
y
)
1
2
(
U
y
V
z
+
(
U
x
+
W
z
)
(
U
z
+
W
x
)
+
V
x
W
y
)
1
2
(
(
U
x
+
V
y
)
(
U
y
+
V
x
)
+
V
z
W
x
+
U
z
W
y
)
V
y
2
+
U
y
V
x
+
V
z
W
y
1
2
(
U
z
V
x
+
U
y
W
x
+
(
V
y
+
W
z
)
(
V
z
+
W
y
)
)
1
2
(
U
y
V
z
+
(
U
x
+
W
z
)
(
U
z
+
W
x
)
+
V
x
W
y
)
1
2
(
U
z
V
x
+
U
y
W
x
+
(
V
y
+
W
z
)
(
V
z
+
W
y
)
)
W
z
2
+
U
z
W
x
+
V
z
W
y
)
A^2+B^2=\\ \left( \begin{matrix} Ux^2+UyVx+UzWx& \frac{1}{2}\left( \left( Ux+Vy \right) \left( Uy+Vx \right) +VzWx+UzWy \right)& \frac{1}{2}\left( UyVz+\left( Ux+Wz \right) \left( Uz+Wx \right) +VxWy \right)\\ \frac{1}{2}\left( \left( Ux+Vy \right) \left( Uy+Vx \right) +VzWx+UzWy \right)& Vy^2+UyVx+VzWy& \frac{1}{2}\left( UzVx+UyWx+\left( Vy+Wz \right) \left( Vz+Wy \right) \right)\\ \frac{1}{2}\left( UyVz+\left( Ux+Wz \right) \left( Uz+Wx \right) +VxWy \right)& \frac{1}{2}\left( UzVx+UyWx+\left( Vy+Wz \right) \left( Vz+Wy \right) \right)& Wz^2+UzWx+VzWy\\ \end{matrix} \right)
A2+B2=⎝⎛Ux2+UyVx+UzWx21((Ux+Vy)(Uy+Vx)+VzWx+UzWy)21(UyVz+(Ux+Wz)(Uz+Wx)+VxWy)21((Ux+Vy)(Uy+Vx)+VzWx+UzWy)Vy2+UyVx+VzWy21(UzVx+UyWx+(Vy+Wz)(Vz+Wy))21(UyVz+(Ux+Wz)(Uz+Wx)+VxWy)21(UzVx+UyWx+(Vy+Wz)(Vz+Wy))Wz2+UzWx+VzWy⎠⎞
转换为Tecplot语法：
{Ux}=ddx({X Velocity})
{Uy}=ddy({X Velocity})
{Uz}=ddz({X Velocity})
{Vx}=ddx({Y Velocity})
{Vy}=ddy({Y Velocity})
{Vz}=ddz({Y Velocity})
{Wx}=ddx({Z Velocity})
{Wy}=ddy({Z Velocity})
{Wz}=ddz({Z Velocity})
{T11}={Ux}**2+{Uy}*{Vx}+{Uz}*{Wx}
{T12}=0.5*(({Ux}+{Vy})*({Uy}+{Vx})+{Vz}*{Wx}+{Uz}*{Wy})
{T13}=0.5*(({Uz}+{Wx})*({Ux}+{Wz})+{Uy}*{Vz}+{Vx}*{Wy})
{T22}={Uy}*{Vx}+{Vy}**2+{Vz}*{Wy}
{T23}=0.5*(({Vy}+{Wz})*({Vz}+{Wy})+{Uy}*{Wx}+{Uz}*{Vx})
{T33}={Uz}*{Wx}+{Vz}*{Wy}+{Wz}**2
这里还需要计算特征根，然而Tecplot内没有相应的函数，只能利用Tool工具栏下的Tensor Eigensystem进行计算。
在Tensor Eigensystem里，按照顺序选择刚才计算的矩阵各个元素，点击Ok计算。
之后选择EgnVal2，进行等值面的绘图。
4 Δ方法
Q判据为涡的地方，Δ方法也会判定为涡。但Q判据不是涡的地方，有可能根据Δ方法也会判定为涡。
这里参考的是Tecplot官网给出的计算
https://kb.tecplot.com/2019/05/02/calculate-delta-criterion/
{Ux}=ddx({X Velocity})
{Uy}=ddy({X Velocity})
{Uz}=ddz({X Velocity})
{Vx}=ddx({Y Velocity})
{Vy}=ddy({Y Velocity})
{Vz}=ddz({Y Velocity})
{Wx}=ddx({Z Velocity})
{Wy}=ddy({Z Velocity})
{Wz}=ddz({Z Velocity})
{P} = -({Ux}+{Vy}+{Wz})
{Q} = (-{Uy}*{Vx}-{Uz}*{Wx}-{Vz}*{Wy}+{Ux}*{Vy}+{Wz}*{Ux}+{Wz}*{Vy})
{R} = ({Ux}*({Vz}*{Wy}-{Vy}*{Wz})+{Uy}*({Vx}*{Wz}-{Wx}*{Vz})+{Uz}*({Wx}*{Vy}-{Vx}*{Wy}))
{R2} = ({R}+(2/27)*{P}**3-{Q}*{P}/3)
{Q2} = ({Q}-{P}**2/3)'
{Delta} = ({Q2}/3)**3+({R2}/2)**2
5 λci方法
λci方法是在Δ方法的基础上进行计算得到的。
原理是当Δ>0时，速度梯度张量存在2个复数特征根，其特征根的虚部就是λci。
具体的计算方法本人能力有限，没有看懂。
这里参考的是Tecplot官网给出的计算（同上面的Δ方法）
https://kb.tecplot.com/2019/05/02/calculate-delta-criterion/
{Ux}=ddx({X Velocity})
{Uy}=ddy({X Velocity})
{Uz}=ddz({X Velocity})
{Vx}=ddx({Y Velocity})
{Vy}=ddy({Y Velocity})
{Vz}=ddz({Y Velocity})
{Wx}=ddx({Z Velocity})
{Wy}=ddy({Z Velocity})
{Wz}=ddz({Z Velocity})
{P} = -({Ux}+{Vy}+{Wz})
{Q} = (-{Uy}*{Vx}-{Uz}*{Wx}-{Vz}*{Wy}+{Ux}*{Vy}+{Wz}*{Ux}+{Wz}*{Vy})
{R} = ({Ux}*({Vz}*{Wy}-{Vy}*{Wz})+{Uy}*({Vx}*{Wz}-{Wx}*{Vz})+{Uz}*({Wx}*{Vy}-{Vx}*{Wy}))
{R2} = ({R}+(2/27)*{P}**3-{Q}*{P}/3)
{Q2} = ({Q}-{P}**2/3)'
{Delta} = ({Q2}/3)**3+({R2}/2)**2
{Beta2} = IF ({Delta}>=0 ,(ABS(SQRT(ABS({Delta}))-{R2}/2))**(1/3),0)
{Beta3} = IF ({Delta}>=0 ,(ABS(SQRT(ABS({Delta}))+{R2}/2))**(1/3),0)
{LambdaCi}=(SQRT(3)/2)*({Beta2}+{Beta3})
6 Ω方法
Ω方法被认为是最新一代涡识别方法。
其具有归一化阈值的特点，不像前面的各种方法需要调试不同的阈值，Ω方法的阈值被归一化到了0-1之间。
而且Ω方法被认为可以同时展示强涡核弱涡。
Ω方法和Q方法公式类似：
Ω
=
∥
B
∥
F
2
∥
A
∥
F
2
+
∥
B
∥
F
2
+
ϵ
\Omega=\frac{\lVert B \rVert _{F}^{2}}{\lVert A \rVert _{F}^{2}+\lVert B \rVert _{F}^{2}+\epsilon}
Ω=∥A∥F2+∥B∥F2+ϵ∥B∥F2
其中小量
ϵ
\epsilon
ϵ目的是防止大约等于500分之一的最大Q准则计算值。
ϵ
=
m
a
x
(
Q
)
/
500
\epsilon=max(Q)/500
ϵ=max(Q)/500
6.1 2D的Tecplot公式
{Ux}=ddx({X Velocity})
{Uy}=ddy({X Velocity})
{Vx}=ddx({Y Velocity})
{Vy}=ddy({Y Velocity})
{A2}={Ux}**2+0.5*({Uy}+{Vx})**2+{Vy}**2
{B2}=0.5*(({Uy}-{Vx})**2
{Omega}={B2}/({A2}+{B2}+1/500*替换成最大Q值)
6.2 3D的Tecplot公式
{Ux}=ddx({X Velocity})
{Uy}=ddy({X Velocity})
{Uz}=ddz({X Velocity})
{Vx}=ddx({Y Velocity})
{Vy}=ddy({Y Velocity})
{Vz}=ddz({Y Velocity})
{Wx}=ddx({Z Velocity})
{Wy}=ddy({Z Velocity})
{Wz}=ddz({Z Velocity})
{A2}={Ux}**2+0.5*({Uy}+{Vx})**2+{Vy}**2+0.5*({Uz}+{Wx})**2+0.5*({Vz}+{Wy})**2+{Wz}**2
{B2}=0.5*(({Uy}-{Vx})**2+({Uz}-{Wx})**2+({Vz}-{Wy})**2)
{Omega}={B2}/({A2}+{B2}+1/500*替换成最大Q值)
7 不同方法对比
这里我用Fluent简单计算了一个射流流场，网格量比较少，比较丑。但是大概比较不同涡识别方法，大概够用了，也具有足够多的涡结构。
可以看到其实各种涡识别方法其实大同小异，调一下参数大多长得也比较像。
平时默认用Q准则就足够了，其余算法计算量大，但是和Q比起来没有特别明显的优势。
不过Ω准则识别出的马蹄涡基本没有断的，而且阈值选文献中推荐的0.52也不需要做过多修改，比较方便。可以说是这里面效果最好的。