有理分式的积分

最简有理分式

形如 \(\frac{1}{(x-a)^m},\frac{x-a}{((x-a)^2+b^2)^m}\) 的分式。

由代数学基本定理知，任何有理分式 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) 可以写成一个多项式和有限多个最简有理分式的线性组合，其中最简有理分式的分母是 Q(x) 的因式。

构造性的证明

试求出 A 满足 \(\frac{P(x)}{(x-c)^mQ_1(x)} = \frac{A}{(x-c)^m}+\frac{P_1(x)}{(x-c)^{m-1}Q_1(x)}\)

两边乘上 \((x - c)^m\)，带入 x = c，得 \(A = \frac{P(c)}{Q_1(c)}\)。

\(\frac{P(x)}{(x-c)^mQ_1(x)} - \frac{A}{(x-c)^m}=\frac{P(x)Q_1(c)-P(c)Q_1(x)}{(x-c)^{m}Q_1(x)Q_1(c)}\)，\(P(x)Q_1(c)-P(c)Q_1(x)\) 有因式 \(x - c\)，所以达到了降次的目的。

如果 c 是复数，则 c 共轭也为一个根，详见“实系数多项式因式分解定理”。

\[\frac{P(x)}{(x-c)^m(x-\overline c)^mQ_1(x)}=\frac{Ax + B}{(x-c)^m(x-\overline c)^m}+\frac{P_1(x)}{(x-c)^{m-1}(x-\overline c)^{m-1}Q_1(x)} \]

两边乘上 \((x-c)^m(x - \overline c)^m\)，带入 x = c，得到 \(Ac + B = \frac{P(c)}{Q_1(c)}\)，希望得到 A，B 为实数，所以令 A 为 \(\frac{P(c)}{Q_1(c)}\) 的虚部除以 c 的虚部，然后解出 b。得到 \(A = \frac{\frac{P(c)}{Q_1(c)}-\overline{\frac{P(c)}{Q_1(c)}}}{c-\overline c}\)，$ B= \frac{\frac{P(c)}{Q_1(c)} \overline c-\overline{\frac{P(c)}{Q_1(c)}} c}{\overline c - c}$

实现同实数的过程可以发现成功降次。

例子

把 \(\frac{2x^2+2x + 13}{(x-2)(x^2 + 1)^2}\) 化简为最简分式的线性组合。

令 \(\frac{2x^2+2x + 13}{(x-2)(x^2 + 1)^2} = \frac{a}{x - 2} + \frac{bx + c}{x^2+1}+\frac{dx + e}{(x^2+1)^2}\)

两边乘上 x - 2 后带入 x = 2，得到 \(a = 1\)。

两边乘上 \((x^2 + 1)^2\) 后带入 \((x^2 + 1) = 0\)，得到 \(d = -3, e = -4\)。

\(bx + c = \frac{2x^2+2x + 13}{(x-2)(x^2 + 1)} -\frac{a}{(x^2+1)(x - 2)} -\frac{dx + e}{(x^2+1)}\)，取 x = 0，得到 c，然后 \(x \to +\infty\) 得到 b。