前言

咕咕了好久终于来学习莫反了
要不是不让在机房谁会发现数学一本通上有这么神奇的东西
就是没有性质的证明
然后花了两节数学课证明了一遍
舒服～
前置知识：欧拉函数，二项式定理（组合数）
会欧拉函数的可以直接看\(Mobius\)了

欧拉函数

含义

\(\phi (n)\) 表示比\(n\)小的数中与\(n\)互质的数的个数

引理1

• \(n\)为质数，\(\phi(n) = n - 1\)
• \(n=a*b\) 且 \((a, b) = 1\)，则\(\phi(n) = \phi(a) * \phi(b)\)
• 对于一个质数\(n\)的\(a\)次方 \(\phi(n^a) = (n - 1) * p^{n-1}\)
  现对于第三条性质给出证明
• 比\(n^a\)小的数有\(n^a - 1\)个
• 其中能整除的表示为\(n* t (t = 1, 2, ... n ^{a-1}-1)\)
• 总计有\(n^{a-1}-1\)个数能被整除
• 则与其互质的数的个数为\(\phi(p^a) = (n^a-1) - (p^{a-1}+1) = p^a - p^{a-1} = (p-1) * p^{a-1}\)

引理2

对于质数\(n\)，唯一分解定理 \(n = {p_1}^{c_1} * {p_2} ^{c_2}...{p_k}^{c_k}\)
$ \phi(n) = (1- \frac 1 {p_1}) * (1- \frac 1 {p_2}) ... (1- \frac 1 {p_k})\(** **若\)a\(与\)m\(互质，\)a^{\phi(m)} \equiv 1 (mod ; m)$

线性筛

根据上述性质，推出

• 若\(p\)为质数，\(\phi (p) = p - 1\)
• \(if(i \% p == 0) \:\ \phi(i*p)=p*\phi(i)\)
• \(if(i \% p \; != 0) \:\ \phi(i*p)=\phi(i)*(p -1)\)

code

inline void pre(int n){
	phi[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= n; i++){
		if(!vis[i]){
			prime[++cnt] = i;
			phi[i] = i - 1;
		}
		for(int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; j++){
			vis[i * prime[j]] = 1;
			if(i % prime[j] == 0){
				phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
				break;
			}
			else phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
		}
	}
}

莫比乌斯反演（Mobius）

定义

对于非负整数集合上的两个函数\(F(n)\)和\(f(n)\)，若满足条件\(F(n)=\sum_{d|n}f(d)\)则
$$f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac n d)$$

\(\mu\)函数

定义如下

• 若\(d=1\)则\(\mu(d)=1\)
• 若\(d=p_1p_2p_3...p_k\)均为互异质数，则\(\mu(d)=(-1)^k\)
• 其他情况\(\mu(d)=0\)

性质一

\[ \sum_{d|n}\mu(d) = \begin{cases} 1, & \text n=1 \\ 0, & \text n>1 \end{cases} \]

证明：
若\(n\)为质数,显然\(sum=0\)
若\(n\)为合数，根据唯一分解定理

\[n = {p_1}^{c_1} * {p_2} ^{c_2}...{p_k}^{c_k} \]

\(n\)的因子\(d\)只能是\(p_1p_2,p_1p_3,p_3p_k\)诸如此类
可以发现\(d\)的构造来自于\(k\)个质因子中选取了\(i\)个

• k为奇数
  从\(k\)中选出奇数个因子，\(\mu\)值为-1，对答案贡献为\(-\sum_{i-1}^kC_k^i(i+=2)\)
• k为偶数

性质二

\[ \sum_{d|n} \frac {\mu(d)} {d} = \frac {\phi(n)} {n} \]