令 $x=\prod p_{i}^{a_{i}}$
则 $f(x)=\prod p_{i}^{\frac{a_{i}}{2}}$
也就是说 $f(x)$ 等于最大的 $y$ 满足 $y^2|f(x)$
$\sum_{i=1}^{n} f(i)$ 可化为 $\sum_{i=1}^{ \sqrt{n}} i \times g(\frac{n}{i^2})$
其中 $g(x)$ 表示 $1$ ~ $x$ 中有多少个无平方因子数.
$g(x)$ 有一个很经典的莫比乌斯函数容斥:$g(x)=\sum_{i=1}^{\sqrt x} \mu(i)\frac{x}{i^2}$
原式等于 $\sum_{i=1}^{\sqrt n} \sum_{j=1}^{\sqrt{\frac{n}{i^2}}} \mu(j) \frac{n}{i^2j^2}$
令 $k=ij$,$\Rightarrow \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{k^2} \sum_{i|k} i \times \mu(\frac{k}{i})$
然后后面那个 $\sum_{i|k} i \times \mu(\frac{k}{i})=\phi(k)$.
所以最后答案等于 $\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{k^2} \phi(k)$
code:
#include <cstdio> #include <cmath> #include <vector> #include <cstring> #include <algorithm> #define N 4000003 #define ll long long #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) using namespace std; int cnt; int vis[N],prime[N],phi[N]; void init() { phi[1]=1; for(int i=2;i<N;++i) { if(!vis[i]) { prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1; } for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<N;++j) { vis[i*prime[j]]=1; if(i%prime[j]) { phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1); } else { phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; } } } } void solve() { ll n,ans=0; scanf("%lld",&n); ll s=sqrt(n); for(ll i=1;i<=s;++i) { ans+=(n/(i*i))*1ll*phi[(int)i]; } printf("%lld\n",ans); } int main() { // setIO("input"); int T; init(); scanf("%d",&T); while(T--) solve(); return 0; }