• 模型设定
  生产函数：
  $Y=[\int _{i=0}^AL(i)^\phi di]^{1/\phi}$Y=[∫i=0A​L(i)ϕdi]1/ϕ
  成本最小化问题的拉格朗日函数为
  $L=\int _{i=0}^A p(i)L(i)di-\lambda\{{[\int _{i=1}^A L(i)^\phi di]^{1/\phi}}-1\}$L=∫i=0A​p(i)L(i)di−λ{[∫i=1A​L(i)ϕdi]1/ϕ−1}
  其中$p(i)$p(i)表示专利持有人对每单位包含新思想$i$i的投入品所收取的价格。
  则一阶条件为
  $p(i)=\lambda L(i)^{\phi-1}$p(i)=λL(i)ϕ−1
  即
  $L(i)=[\frac{\lambda}{p(i)}]^{\frac{1}{1-\phi}}$L(i)=[p(i)λ​]1−ϕ1​
  劳动市场的均衡要求
  $L_A(t)+L_Y(t)=\overline L$LA​(t)+LY​(t)=L
  其中$L_A(t)$LA​(t)表示t时刻从事研发的工人数量，$L_Y=\int _{i=0}^{A(t) }L(i,t)di$LY​=∫i=0A(t)​L(i,t)di为生产投入品的工人总数。
  经济个体的终生效用是
  $U=\int _{t=0}^\infty e^{-\rho t}ln C(t)dt$U=∫t=0∞​e−ρtlnC(t)dt
  预算约束为
  $\int _{t=0}^\infty e^{-rt}C(t)dt\leq X(0)+\int _{t=0}^\infty e^{-rt} w(t) dt$∫t=0∞​e−rtC(t)dt≤X(0)+∫t=0∞​e−rtw(t)dt
  其中$X(0)$X(0)表示人均初始财富，$w(t)$w(t)是t时刻工资。
  研发的*进入条件要求出售包含某思想的投入品所得利润的现值要等于创造该思想的成本。即
  $\int _{\tau=t}^\infty e^{-r(\tau -t)}\pi(i,\tau)d\tau=\frac{w(t)}{BA(t)}$∫τ=t∞​e−r(τ−t)π(i,τ)dτ=BA(t)w(t)​
  其中$\pi (i,\tau)$π(i,τ)表示该思想的创造者在时刻$\tau$τ所获得的利润。
• 求解模型
  每个专利持有人的利润为
  $\pi=\frac{\overline L-L_A}{A(t)}[\frac{w(t)}{\phi}-w(t)]=\frac{1-\phi }{\phi}\frac{\overline L-L_A}{A(t)}w(t)$π=A(t)L−LA​​[ϕw(t)​−w(t)]=ϕ1−ϕ​A(t)L−LA​​w(t)
  知识创造方程$\dot A(t)=BL_A(t)A(t)$A˙(t)=BLA​(t)A(t)表明如果$L_A$LA​固定，则增长率$\dot A(t)/A(t)$A˙(t)/A(t)就是$BL_A$BLA​。
  对于相对风险规避的家庭，消费增长率为$\dot C(t)/C(t)=[r(t)-\rho]/\theta$C˙(t)/C(t)=[r(t)−ρ]/θ。则均衡要求
  $r(t)=\rho +\frac{\dot C(t)}{C(t)}=\rho +\frac{1-\phi}{\phi}BL_A$r(t)=ρ+C(t)C˙(t)​=ρ+ϕ1−ϕ​BLA​
  可见若$L_A$LA​为常数，则实际利率也为常数。
  发明所获利润的增长率为$[(1-2\phi)/\phi]BL_A$[(1−2ϕ)/ϕ]BLA​,那么新思想可得利润的现值为：
  $\pi(t)=\frac{\frac{1-\phi}{\phi}(\overline L-L_A)\frac{w(t)}{A(t)}}{\rho+\frac{1-\phi}{\phi}BL_A-\frac{1-2\phi}{\phi}BL_A}\\=\frac{1-\phi}{\phi}\frac{\overline L-L_A}{\rho+BL_A}\frac{w(t)}{A(t)}$π(t)=ρ+ϕ1−ϕ​BLA​−ϕ1−2ϕ​BLA​ϕ1−ϕ​(L−LA​)A(t)w(t)​​=ϕ1−ϕ​ρ+BLA​L−LA​​A(t)w(t)​
  均衡条件下现值等于成本$w(t)/[BA(t)]$w(t)/[BA(t)],即
  $\frac{1-\phi}{\phi}\frac{\overline L-L_A}{\rho+BL_A}\frac{w(t)}{A(t)}=\frac{w(t)}{BA(t)}$ϕ1−ϕ​ρ+BLA​L−LA​​A(t)w(t)​=BA(t)w(t)​
  解得
  $L_A=(1-\phi)\overline L-\frac{\rho \phi}{B}$LA​=(1−ϕ)L−Bρϕ​

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