1. 如图，由同侧角相等判定$A,B,E,D$四点共圆，则$\angle ABD=\angle AED$
2. 同理，$\angle ACF=\angle AED$
3. 由中间的斜八字型得$\angle AFC=\angle BDC=90^{\circ}$

1. 证明：由定义得

1. 效果图
   1. 
   2. 
   3. 
   4. 
2. 证明
   1. 原三角形的的三边成为了新三角形的边和高，原三角形的高成为了新三角形的边和延长线
   2. 由效果图显然易知

1. 当$△ABC$为锐角三角形时，有
   
   1. $AB^2-AC^2=HB^2-HC^2，且\angle BHC=\angle ABC+\angle ACB=180°-\angle BAC$
      1. 证明
         1. 由勾股定理得$AB^2-AC^2=BD^2-CD^2,HB^2-CH^2=BD^2-CD^2$，边的关系得证
         2. $\angle BHC=\angle EHF=180°-\angle BAC$，且$\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180°$，显然易证$\angle BHC=\angle ABC+\angle ACB=180°-\angle BAC$
   2. 对于其他两个角同理
2. 当$△ABC$为钝角三角形时，有
   
   1. $AB^2-AC^2=HB^2-HC^2，且\angle CHA=\angle ABC$
      1. 证明：思想同上
   2. 对于其他两个角同理

1. 有3组相似关系，每组有4个，如图展式一组
   
   
   

   1. 由此显然易证$AH \cdot HD=BH \cdot HE=CH\cdot HF$（由比例式得，或由下面的四点共圆证）

 推论3，6组四点共圆（3组对角互补，3组同侧角相等），此处展式2组

推论4

1. 点H关于$△ABC$的对称点$H_1,H_2,H_3$均在$△ABC$的外接圆上
   
   
   1. 延长CE到G交外接圆于G，要求证HE=EG
   2. 由斜八字得$\angle ACG=\angle ABD$，又由等弦对等角得$\angle ACG=\angle ABG$，则$\angle ABD=\angle ABG$
   3. 由全等得HE=EG

推论5

1.  $△ABC、△BCH、△ACH、ABH$的外接圆是等圆
   

   1. 证明：由推论4翻折出来即可