三角形的垂心

  1. 垂心的概念

    1. 三角形三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心
      1. 三角形的垂心
      2. 三角形的垂心
      3. 三角形的垂心
  2. 垂心的性质

    1. 必然存在
      1. 证明
        三角形的垂心
        1. 如图,由同侧角相等判定$A,B,E,D$四点共圆,则$\angle ABD=\angle AED$
        2. 同理,$\angle ACF=\angle AED$
        3. 由中间的斜八字型得$\angle AFC=\angle BDC=90^{\circ}$
    2. 基本性质
      1. 三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边
        1. 证明:由定义得
      2. 三角形的垂心与三个顶点构成一个垂心组,即这四点中以任意三点为三角形的顶点,则另一点为这个三角形的垂心
        1. 效果图
          1. 三角形的垂心
          2. 三角形的垂心
          3. 三角形的垂心
          4. 三角形的垂心
        2. 证明
          1. 原三角形的的三边成为了新三角形的边和高,原三角形的高成为了新三角形的边和延长线
          2. 由效果图显然易知
    3. 推论
      1. 推论1(设H为$△ABC$的垂心)
        1. 当$△ABC$为锐角三角形时,有
          三角形的垂心
          1. $AB^2-AC^2=HB^2-HC^2,且\angle BHC=\angle ABC+\angle ACB=180°-\angle BAC$
            1. 证明
              1. 由勾股定理得$AB^2-AC^2=BD^2-CD^2,HB^2-CH^2=BD^2-CD^2$,边的关系得证
              2. $\angle BHC=\angle EHF=180°-\angle BAC$,且$\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180°$,显然易证$\angle BHC=\angle ABC+\angle ACB=180°-\angle BAC$
          2. 对于其他两个角同理
        2. 当$△ABC$为钝角三角形时,有
          三角形的垂心
          1. $AB^2-AC^2=HB^2-HC^2,且\angle CHA=\angle ABC$
            1. 证明:思想同上
          2. 对于其他两个角同理
      2. 推论2:相似关系
        1. 有3组相似关系,每组有4个,如图展式一组
          三角形的垂心
          三角形的垂心
          三角形的垂心
          1. 由此显然易证$AH \cdot HD=BH \cdot HE=CH\cdot HF$(由比例式得,或由下面的四点共圆证)

      3.  推论3,6组四点共圆(3组对角互补,3组同侧角相等),此处展式2组

        1. 三角形的垂心

      4. 推论4

        1. 点H关于$△ABC$的对称点$H_1,H_2,H_3$均在$△ABC$的外接圆上
          三角形的垂心
          1. 延长CE到G交外接圆于G,要求证HE=EG
          2. 由斜八字得$\angle ACG=\angle ABD$,又由等弦对等角得$\angle ACG=\angle ABG$,则$\angle ABD=\angle ABG$
          3. 由全等得HE=EG
      5. 推论5

        1.  $△ABC、△BCH、△ACH、ABH$的外接圆是等圆
          三角形的垂心

          1. 证明:由推论4翻折出来即可
            三角形的垂心

             

 

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