介绍逻辑代数中基本的逻辑运算，基本公式，常用公式和基本定理。
逻辑门
简单的逻辑门
逻辑代数的基本运算有与(AND)，或(OR)，非(NOT)三种。
“与”门
只有决定事物结果的全部条件同时具备时，结果才发生，这种因果关系称为逻辑与，或者称逻辑相乘。
逻辑真值表为
| A | B | Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
其中\(A\),\(B\)为输入，\(Y\)为输出。
在逻辑代数中，以“\(\cdot\)”表示与运算。
\(A\)与\(B\)进行与逻辑运算时可以写成
表示符号为
为了简化书写，允许将\(A\cdot B\)简写成\(AB\)，略去逻辑相乘的运算符号“\(\cdot\)”。
"或"门
在决定事物结果的诸条件中只要有任何一个满足，结果就会发生，这种因果关系称为逻辑或，或者称逻辑相加。
逻辑真值表为
| A | B | Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
其中\(A\),\(B\)为输入，\(Y\)为输出。
在逻辑代数中，以“\(+\)”表示或运算。
\(A\)与\(B\)进行或逻辑运算时可以写成
表示符号为
"非"门
只要条件具备了，结果就不会发生，而条件不具备时，结果就一定发生，这种因果关系称为逻辑非，或者称逻辑相反。
逻辑真值表为
| A | Y |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
其中\(A\)为输入，\(Y\)为输出。
在逻辑代数中，以“\(\prime\)”表示非运算。
\(A\)进行非逻辑运算时可以写成
表示符号为
复合逻辑门
最常见的复合逻辑运算有与非(NAND)，或非(NOR)，与或非(AND-NOR)，异或(EXCLUSIVE OR)，同或(EXCLUSIVE NOR)等。
“与非”门
与非操作，将\(A\),\(B\)先进行与运算，然后将结果求反，最后得到的即为\(A\),\(B\)的与非运算结果。（先与后非）
逻辑真值表
| A | B | Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
其中\(A\),\(B\)为输入，\(Y\)为输出。
\(A\)与\(B\)进行与非逻辑运算时可以写成
表示符号为
实际上可以把与非运算看作是与运算和非运算的组合，图形符号上的小圆圈表示非运算。(后面会提到，可以将图像上的小圆圈看成一个非门)
"或非"门
或非操作，将\(A\),\(B\)先进行或运算，然后将结果求反，最后得到的即为\(A\),\(B\)的或非运算结果。（先或后非）
逻辑真值表
| A | B | Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
其中\(A\),\(B\)为输入，\(Y\)为输出。
\(A\)与\(B\)进行或非逻辑运算时可以写成
表示符号为
实际上可以把或非运算看作是或运算和非运算的组合，图形符号上的小圆圈表示非运算。
"异或"门
异或是这样一种逻辑关系，当A，B不同时，输出Y为1，当A，B相同时，输出Y为0。
逻辑真值表
| A | B | Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
其中\(A\),\(B\)为输入，\(Y\)为输出。
在逻辑代数中，以“ \(\oplus\)”表示异或运算。
\(A\)与\(B\)进行异或逻辑运算时可以写成
\[Y =A \oplus B= A \cdot B^{\prime} + A ^{\prime} \cdot B \]表示符号为
"同或"门
同或的逻辑关系，当A，B相同时，输出Y为1，当A，B不同时，输出Y为0。
逻辑真值表
| A | B | Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
其中\(A\),\(B\)为输入，\(Y\)为输出。
在逻辑代数中，以“\(\odot\)”表示与运算。
\(A\)与\(B\)进行同或逻辑运算时可以写成
\[Y = A \odot B=A \cdot B + A^{\prime} \cdot B^{\prime} \]表示符号为
从上面我们可以看出异或和同或互为反运算
\[A \oplus B =(A \odot B)^{\prime} \\A \odot B = (A \oplus B)^{\prime} \]"与或非"门
与或非逻辑，A，B之间以及C，D之间都是与的关系，只要A，B或C，D任何一组同时为1，输出Y就是0，只有当每一组输入都不全是1时，输出Y才时1。(两两先求或，再求与，再求非)
逻辑真值表
| A | B | C | D | Y |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
其中\(A\),\(B\),\(C\),\(D\)为输入，\(Y\)为输出。
\(A\),\(B\),\(C\),\(D\)进行与或非逻辑运算时可以写成
表示符号为
逻辑公式
基本逻辑公式
布尔恒等式
\[0 \cdot A = 0 \] \[1^{\prime} = 0 ; 0^{\prime} = 1 \] \[1\cdot A =A \] \[1\cdot A =A \] \[1+A=1 \] \[A \cdot A= A \] \[0+A=A \] \[A\cdot A^{\prime}=0 \] \[A+A=A \] \[A\cdot B = B\cdot A \] \[A+A^{\prime}=1 \] \[A\cdot(B\cdot C)=(A \cdot B)\cdot C \] \[A+B=B+A \] \[A\cdot(B+C)=A\cdot B + A \cdot C \] \[A+(B+C)=(A+B)+C \] \[(A \cdot B)^{\prime}=A^{\prime}+B^{\prime} \] \[A+B\cdot C = (A+B)\cdot (A+C) \] \[(A^{\prime})^{\prime}=A \] \[(A+B)^{\prime}=A^{\prime}\cdot B^{\prime} \]注意：\((A+B)^{\prime} \neq A^{\prime} + B^{\prime}\)
举个非常简单的例子，假设\(A = 1;B=0;\)带入到上式里面，\(0 \neq 1\)，涉及到逻辑函数括号的展开，严格按照公式来！！！
常用逻辑公式
1,
\[A+A\cdot B=A \]证明：
\[A+A \cdot B = A \cdot (1+B)=A \cdot 1=A \]2,
\[A+A^{\prime}\cdot B = A+A \cdot B+A^{\prime} \cdot B=A+(A+A^{\prime})\cdot B=A+B \]证明：
\[A+A^{\prime}\cdot B = A+A \cdot B+A^{\prime} \cdot B=A+(A+A^{\prime})\cdot B=A+B \]3,
\[A\cdot B + A \cdot B^{\prime}=A \]证明：
\[A \cdot B + A \cdot B^{\prime} = A \cdot (B + B^{\prime})=A \]4,
\[A \cdot (A+B)=A \]证明：
\[A \cdot (A+B)=A \cdot A+A \cdot B=A + A \cdot B = A \cdot(1+B)=A \]5,
\[A\cdot B + A^{\prime}\cdot C+B\cdot C = A\cdot B + A^{\prime} \cdot C \]证明：
\[A \cdot B + A^{\prime} \cdot C+ B \cdot C \\=A \cdot B +A^{\prime} \cdot C + B\cdot C(A+A^{\prime}) \\=A \cdot B +A^{\prime} \cdot C+A \cdot B \cdot C + A^{\prime} \cdot B \cdot C \\=A \cdot B \cdot(1 +C)+A^{\prime }\cdot C \cdot (B+1) \\=A \cdot B +A^{\prime} \cdot C \]6,
\[A \cdot B+A^{\prime}\cdot C+BCD=A\cdot B +A^{\prime} \cdot C \]证明：
\[A \cdot B+A^{\prime}\cdot C+BCD \\=A \cdot B+ A^{\prime} \cdot C +B \cdot C \cdot D \cdot (A + A^{\prime}) \\=A \cdot B +A^{\prime} \cdot C + A \cdot B \cdot C \cdot D +A^{\prime} \cdot B \cdot C \cdot D \\=A \cdot B \cdot (1 + C\cdot D)+A^{\prime} \cdot C \cdot(1+ B\cdot D) \\=A \cdot B + A^{\prime} \cdot C \]7,
\[A \cdot (A\cdot B)^{\prime}=A\cdot B^{\prime};A^{\prime}\cdot(A \cdot B)^{\prime}=A^{\prime} \]证明：
\[A \cdot (A\cdot B)^{\prime}=A\cdot(A^{\prime}+B^{\prime})=A \cdot A^{\prime}+A \cdot B^{\prime}=A \cdot B^{\prime} \\A^{\prime}\cdot(A \cdot B)^{\prime}=A^{\prime} \cdot (A^{\prime} +B^{\prime})=A^{\prime} \cdot A^{\prime}+A^{\prime}\cdot B^{\prime}=A^{\prime} +A^{\prime} \cdot B^{\prime}=A^{\prime} \cdot (1+ B^{\prime})=A^{\prime} \]逻辑代数的基本定理
代入定理
在任何一个包含变量\(A\)的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有\(A\)的位置，则等式仍然成立。这就是代入定理。
因为\(A\)的取值无非就是\(0\)或\(1\),而逻辑式的结果也只有\(0\)和\(1\)两种情况，所以代入进去自然也成立。
反演定理
对于任意一个逻辑式\(Y\)，若将其中所有的"\(\cdot\)"换成"\(+\)""，"\(+\)"换成"\(\cdot\)"，\(0\)换成\(1\)，\(1\)换成\(0\)，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是\(Y^{\prime}\)，这个规律称为反演定理。
反演定理需要注意两个规则：
1，需遵守“先括号，然后乘，最后加的运算优先级
2，不属于单个变量上的反号应保持不变。
举个例子：
\[Y=((AB^{\prime}+C)^{\prime}+D)^{\prime}+C\\ Y^{\prime}=(((A^{\prime}+B)C^{\prime})^{\prime}D^{\prime})^{\prime}C^{\prime} \]对偶定理
对偶式：对于任何一个逻辑式\(Y\)，若将其中的“\(\cdot\)”换成“\(+\)”，"\(+\)"换成“\(\cdot\)”，\(0\)换成\(1\)，\(1\)换成\(0\)，则得到一个新的逻辑式\(Y^{D}\)，这个\(Y^{D}\)就称为\(Y\)的对偶式，或者说\(Y\)和\(Y^{D}\)互为对偶式。
如果两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，这就是对偶定理。
如果直接证明两个逻辑式相等不好证，可以考虑证明他们的对偶式相等。