目录

• 定义
• 常见的性质与运算规则
• 练习

定义

在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的倒数。

如果 \(a\) 的 \(x\) 次方等于 \(N\) （ \(a>0\) ，且 \(a≠1\) ），那么数 \(x\) 叫做以 \(a\) 为底 \(N\) 的对数，记作 \(x=\log_{a}{N}\) 。其中， \(a\) 叫做对数的底数， \(N\) 叫做真数。

特别的，我们把以 \(10\) 为底的对数写成 ,称为常用对数 \(\lg\) ；把以 \(e\) 为底的对数写成 \(\ln\) ,称为自然对数。

常见的性质与运算规则

1 . $\log_{b}{1}=0 $

证明：\(\forall b \in \mathbb{R}^*\) ，有 \(b^0=1\) ，故根据对数的定义即可得证。

2 . $\log_{b}{b}=1 $

证明：因为 \(b^1=b\) ， 故根据对数的定义即可得证。

3 . \(b^{\log_{b}{x} }=x\)

证明：设 \(log_{b}{x}=N\) ，则 \(b^N=x\) ，再把 \(log_{b}{x}=N\) 代入即可得证。

4 . \(\log_{b}{M\cdot N}=\log_{b}{M}+\log_{b}{N}\)

证明：设 \(log_{b}{M}=A,log_{b}{N}=B\) ，根据对数的定义可知， \(b^A=M,b^B=N\) 。于是， \(b^A \cdot b^B=b^{A+B}=M\cdot N\) ，因此有 \(log_{b}{M\cdot N}=A+B=\log_{b}{M}+\log_{b}{N}\) ，得证。

5 . \(\log_{b}{\frac{M}{N} }=\log_{b}{M}-\log_{b}{N}\)

证明：同第 \(4\) 条即可得证。

6 . \(\log_{b}{M^k}=k\cdot \log_{b}{M}\)

证明：\(\log_{b}{M^k}=\log_{b}{ {\textstyle \prod_{i=1}^{k}} M}\) ，再代入第 \(4\) 条，即可得证。

7 . \(\log_{b}{b^x}= x\)

证明：结合第 \(2\) 条与第 \(6\) 条即可得证。

8 . $\log_{b}{x} =\frac{\log_{a}{x}}{\log_{a}{b}} $ （换底公式）

证明：设 \(log_{b}{x}=A,log_{a}{x}=B,log_{a}{b}=C\) ，由定义可知，\(b^A=X,a^B,a^C=b\) 。于是， \(b^A=(a^C)^A=a^{A\cdot C}=x=a^B\) 。因此有 \(A\cdot C=B\) ，即 $A=\frac{B}{C} $ ，代入即可得证。

注：为便于理解，下文解题过程中运用换底公式时都会换成 \(\ln\)（实际上用什么都无所谓）

9 . \(\log_{a}{b}=\frac{1}{\log_{b}{a}}\)

证明： \(\log_{a}{b}=\frac{\ln b}{\ln a} ,\log_{b}{a}=\frac{\ln a}{\ln b}\Rightarrow \log_{a}{b}=\frac{1}{\log_{b}{a}}\)

练习

1.2018-AMC-12B-7

求 \(\log_{3}{7}\cdot \log_{5}{9}\cdots \log_{23}{27}\)

Sol

原式 \(= {\textstyle \prod_{i=1}^{11}} \log_{2i+1}{2i+5}= {\textstyle \prod_{i=1}^{11}} \frac{\ln(2i+5) }{\ln(2i+1)} = \frac{ {\textstyle \prod_{i=1}^{13}}\ln(2i+1) }{{\textstyle \prod_{i=1}^{11}}\ln(2i+1)} =\frac{\ln25\cdot \ln27}{\ln3\cdot \ln5} =\log_{3}{27}\cdot\log_{5}{25}=6\)

2.2019-AMC12A-12

已知 \(x,y \in \mathbb{R}\) 且均不为 \(1\) ，并满足 \(\log_{2}{x}=\log_{y}{16}\) 与 \(xy=64\)

求 \((\log_{2}{\frac{x}{y} })^2\)

Sol

令 \(A=\log_{2}{x},B=\log_{2}{y}\)

\(xy=64 \Rightarrow \log_{2}{xy}=\log_{2}{x}+\log_{2}{y}=A+B=\log_{2}{64}=6\)

\(\log_{2}{x}=\log_{y}{16}\Rightarrow \log_{2}{x}=\frac{\log_{2}{16}}{\log_{2}{y}} =\frac{4}{\log_{2}{y}} \Rightarrow \log_{2}{x}\cdot\log_{2}{y}=A\cdot B=4\)

原式 \(=(\log_{2}{x}-\log_{2}{y})^2=(A-B)^2=(A+B)^2-4AB=20\)

3.2019-AMC12A-23

定义 \(a\diamondsuit b=a^{\log_{7}{b}},a\heartsuit b=a^{\frac{1}{\log_{7}b} }\) ，其中 \(a,b \in \mathbb{R}\)

现有数列 \(a_n=(n\heartsuit (n-1))\diamondsuit a_{n-1}\) ，其中 \(a_3=3\heartsuit 2 ,n\in \mathbb{Z}^*\) 且 \(n\ge 4\)

求最接近 \(log_{7}{a_{2019}}\) 的整数。

Sol

\(a_n=(n^{\frac{1}{\log_{7}{n-1} }})^{\log_{7}{a_{n-1}}}=n^{\frac{\log_{7}{}a_{n-1}}{\log_{7}{n-1}} }=n^{\log_{n-1}{}a_{n-1}}\)

\(\Rightarrow \log_{n}{a_n}=\log_{n-1}{a_{n-1}}=\cdots=\log_{3}{a_3}\)

\(a_3=3^{\frac{1}{\log_{7}{2}}}\Rightarrow \log_{3}{a_3}=\log_{3}{3^{\frac{1}{\log_{7}{2}}}}=\frac{1}{\log_{7}{2}}=\log_{2}{7}\)

\(\Rightarrow\log_{2019}{a_{2019}}=\log_{3}{a_3}= \log_{2}{7}=\frac{\ln7}{\ln 2}\)

\(\Rightarrow\log_{2019}{a_{2019}}=\frac{\ln a_{2019}}{\ln2019}=\frac{\ln7}{\ln 2}\)

\(\Rightarrow \frac{\ln a_{2019}}{\ln7}=\frac{\ln2019}{\ln 2}\)

\(\Rightarrow \log_{7}{a_{2019}}=\log_{2}{2019}\approx 11\)

4.2011-CSMC-PartA-6

\(\lg a\)	\(\lg b\)	\(\lg x\)
\(p\)	\(\lg y\)	\(\lg c\)
\(\lg z\)	\(q\)	\(r\)

上图是一个 \(3 \times 3\) 的幻方，每行、每列以及对角线的和相等，请用 \(a,b,c\) 表示 \(xyz\) 的乘积。

Sol

设每行、每列以及对角线的和为 \(\lg A\)

\(\Rightarrow \lg x+\lg y+ \lg z =\lg A\Rightarrow xyz=A\)

第一行： \(\lg a+\lg b+ \lg x =\lg A\Rightarrow x=\frac{A}{ab}\)

第三列： \(\lg x+\lg c+ r =\lg \frac{A}{ab} +\lg c+ r=\lg A\Rightarrow r=\lg \frac{ab}{c}\)

主对角线： \(\lg a+\lg y+ r =\lg A\Rightarrow y=\frac{Ac}{a^2b}\)

第二列： \(\lg b+\lg y+ q =\lg b+\lg \frac{Ac}{a^2b} +q=\lg A\Rightarrow q=\lg \frac{a^2}{c}\)

第三行： \(\lg z+ q+r =\lg z+\lg \frac{a^2}{c} +\lg \frac{ab}{c}=\lg A\Rightarrow z=\lg \frac{Ac^2}{a^3b}\)

\(\Rightarrow A=xyz=\frac{A}{ab}\cdot\frac{Ac}{a^2b}\cdot\frac{Ac^2}{a^3b}=\frac{A^3c^3}{a^6b^3}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{A^2}=\frac{c^3}{a^6b^3}\)

\(\Rightarrow xyz=A=\frac{a^3b^{\frac{3}{2}}}{c^{\frac{3}{2}}}\)