[总结] 线性筛与积性函数
利用线性筛中一个数仅仅被它最小的质因子筛掉的性质，结合积性函数的特殊性质，往往可以预处理出积性函数的值。
\(\varphi(x)\)
设 \(P\) 是质数，显然 \(\varphi(p)=p-1\)。
根据定义式：\(\varphi(x)=x\cdot \prod_{i=1}^k{\frac{p_i-1}{p_i}}\)，则 \(\varphi(p^k)=p^{k-1}\varphi(p)=p^{k-1}(p-1)\)
由于是积性函数，所以当 \(i\) 与 \(p\) 互质时，\(\varphi(i\cdot p)=\varphi(i)\varphi(p)\)。
我们只需要考虑 \(i\) 与 \(p\) 不互质的情况，即 \(i\ mod\ p=0\) 时。
不妨构造出互质的式子：
\(\varphi(p\cdot i)=\varphi(p^k\cdot\frac{i}{p^{k-1}})=\varphi(p^k)\varphi(\frac{i}{p^{k-1}})=p^{k-1}(p-1) \varphi(\frac{i}{p^{k-1}})\)
\(\varphi(i)=\varphi(p^{k-1}\cdot \frac{i}{p^{k-1}})=p^{k-2}(p-1)\varphi(\frac{i}{p^{k-1}})\)
发现当 \(i\) 的最小质因子 \(p\) 的次数为 \(k-1\) 时，\(\varphi(p\cdot i)=p\cdot \varphi(i)\)
int primes[maxn],cnt=0,phi[maxn];
bool notp[maxn];
void make_phi(int n){
notp[1]=true;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!notp[i])primes[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
for(int j=1;j<=cnt;j++){
int tmp=primes[j]*i;if(tmp>n)break;
notp[tmp]=true;
if(i%primes[j])phi[tmp]=phi[i]*phi[primes[j]];
else{
phi[tmp]=phi[i]*primes[j];break;
}
}
}
return ;
}
\(\sigma_k(x)\)
\(\sigma_k(x)=\sum_{d|x}d^k\)
\(\sigma_0(x)\)，意义为约数的个数。
证明过程类似于上面，直接给出 \(i \ mod \ p=0\) 时的结论：
\(\sigma_0(i\cdot p)=\sigma_0(i)\cdot\frac{d+2}{d+1}\)
其中 \(d=k-1\)，也就是 \(i\) 的最小质因子 \(p\) 的次幂。
这其实在我做过的题当中是有应用的，我当时还在感慨题解怎么这么胡
这是当时筛法的代码，也是核心代码：
void init(){
d[1]=1;g[1]=1;
for(int i=2;i<=maxm-5;i++){
if(!notp[i])primes[++cnt]=i,g[i]=1,d[i]=2;
for(int j=1;j<=cnt;j++){
LL k=i*primes[j];
if(k>maxm-5)break;
if(i%primes[j]==0){
notp[k]=true;
g[k]=g[i]+1;
d[k]=1LL*d[i]*(g[i]+2)/(g[i]+1);
break;
}
else{
notp[k]=true;
g[k]=1;
d[k]=d[i]*d[primes[j]];
}
}
}
return ;
}
\(\sigma_1(x)\)，意义为 \(x\) 的所有因子的和。
定义式为：
\(\sigma_1(x)=\prod_{p|x}\sum_{i=0}^{c_i}p^i\)
直接给出 \(i\ mod\ p=0\) 时的式子。
\(\sigma_1(p\cdot i)=\frac{\sigma_1(i)}{\sigma_1(p^{k-1)}}\cdot \sigma_1(p^k)\)
其实就是按照思路展开定义求解，因为没有好用的化简来处理。
可以预处理快速幂，然后 \(\text O(1)\) 查询。
贴一张 \(gyx\) 学长的 pdf 截图：