前言
在高中数学中，经常会碰到求线段长度或者直线与曲线相交得到的弦的长度，所用到的求解公式与所处的坐标系和采用的方法都有关。
弦长公式1
【公式】：\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot |x_1-x_2|\)， 推导过程[1]
【使用条件】：在直角坐标系下使用，针对直线的普通方程和曲线的普通方程，
【案例】：直线为 \(l: 2x-y-3=0\)，曲线为 \(C：x^2+y^2-4y-12=0\)，求直线\(l\)被\(\odot C\)截得的弦长。
设直线和圆的交点为\(A(x_1，y_1)，B(x_2，y_2)\)，
联立得到方程组，\(\left\{\begin{array}{l}{2x-y-3=0}\\{x^2+y^2-4y-12=0}\end{array}\right.\)
消去\(y\)得到，\(x^2+(2x-3)^2-4(2x-3)-12=0\)，整理得到，\(5x^2-20x+9=0\)，
由韦达定理得到，\(x_1+x_2=4\)，\(x_1x_2=\cfrac{9}{5}\)，
由弦长公式得到，\(|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|\)\(=\sqrt{1+2^2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)
\(=\sqrt{5}\sqrt{16-\cfrac{36}{5}}=2\sqrt{11}\)。
弦长公式2
【公式】：\(|AB|=|t_1-t_2|\)，可以类比一维数轴上的两点间的距离公式来理解；
【使用条件】： 在直角坐标系下，针对直线的参数方程和曲线的普通方程使用，还要注意直线的参数方程在使用时必须验证其是否为标准形式。
解析：将直线的参数方程 \(\left\{\begin{array}{l}x=-\cfrac{\sqrt{3}}{2} t\\y=2+\cfrac{t}{2}\end{array}\right.\) (\(t\) 为参数)代人曲线方程 \(y^{2}-3 x^{2}=0\)，
得 \(t^{2}-t-2=0\)，解得 \(t_{1}=2\)， \(t_{2}=-1\)，
由参数的儿何意义知，截得的线段长为 \(|t_1-t_2|=|2-(-1)|=3\).
解析：直线的参数方程 \(\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\y=3t\end{array}\right.\) 可以化成 \(\left\{\begin{array}{l}x=1+\cfrac{2}{\sqrt{13}}(\sqrt{13}t)\\y=\cfrac{3}{\sqrt{13}}(\sqrt{13} t)\end{array}\right.,\)
将直线方程 \(\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\y=3 t\end{array}\right.,\) 代人 \(y^{2}=3x\)，
得 \(3t^{2}-2t-1=0\)， 解得 \(t_{1}=-\cfrac{1}{3}, t_{2}=1\)，
由参数的儿何意义知,所得的弦长为 \(\sqrt{13}|t_{2}-t_{1}|=\cfrac{4\sqrt{13}}{3}\).
弦长公式3
- 极坐标系下，针对点\(O\)，\(A\)，\(B\)三点共线的情形，\(|AB|=|\large{\rho}_{\tiny{A}}-\large{\rho}_{\tiny{B}}|\)
-
设直线方程为\(y=kx+b\)，两个交点为点\(A(x_1，y_1)\)，\(B(x_2，y_2)\)；
则由平面内任意两点间的距离公式可得，
\(|AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+[(kx_1+b)-(kx_2+b)]^2}\)
\(=\sqrt{(x_1-x_2)^2+k^2(x_1-x_2)^2}=\sqrt{1+k^2}\cdot \sqrt{(x_1-x_2)^2}\)
\(=\sqrt{1+k^2}\cdot |x_1-x_2|\)
即弦长公式：\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot |x_1-x_2|\)
\(|AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{(\frac{y_1-b}{k}-\frac{y_2-b}{k})^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(=\sqrt{\frac{(y_1-y_2)^2}{k^2}+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\cdot \sqrt{(y_1-y_2)^2}\)
\(=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\cdot |y_1-y_2|\)
即弦长公式：\(|AB|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\cdot |y_1-y_2|\)
故弦长公式：\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot |x_1-x_2|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\cdot |y_1-y_2|\)
具体使用时，如下所示，为了和韦达定理相联系。
\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot |x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{ |x_1-x_2|^2}\)\(=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{ x_1^2+x_2^2-2x_1x_2}\)\(=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{ x_1^2+x_2^2+2x_1x_2- 4x_1x_2}\)\(=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)
\(|AB|=\sqrt{1+(\cfrac{1}{k})^2}\cdot\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}\) ↩︎