Bessel-Fourier moment-based robust image zero-watermarking

标题：基于 Bessel-Fourier 矩的鲁棒图像零水印

作者：Guangyong Gao ，Guoping Jiang

发布年份：2015

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摘要

针对各种信号处理操作和几何变换，本文提出了一种基于新图像矩的鲁棒零水印算法，称为贝塞尔-傅立叶矩。首先将图像归一化用于平移和缩放的不变性，然后计算归一化图像的Bessel-Fourier矩的幅值，该幅值具有旋转不变性，用于构造作为水印的特征图像。实验结果和分析表明，该方法对模糊、JPEG压缩、高斯噪声、旋转、缩放、Stirmark和print_photocopy_scan等各种攻击具有很强的鲁棒性。与同类零水印方案和 Zernike 矩相比，所开发的方法具有更好的性能。

1.引言

近年来，数字水印技术可用于数字媒体版权保护，避免非法盗版行为，已成为信息安全领域的研究热点。目前，大多数水印方案采用的嵌入水印包括三类，即空间域水印[11、14、23]、频域水印[1、6、22]和联合域水印[15-17]。在这些方法中，将修改图像的空间、频率或时频信息。

然而，嵌入水印算法不能直接应用于对细节像素要求较高的医学和遥感图像的保护。不改变图像内容的无损水印技术非常适合保护此类图像的版权。目前，无损水印方案包括可逆水印和零水印两大类。现有的可逆水印算法[5, 9]对各种攻击的鲁棒性较差，相比之下，零水印方案[3, 4, 8, 12, 19, 20]不仅具有良好的无损特征，而且对不同的攻击具有较好的鲁棒性。种攻击。零水印方法利用图像的重要特征生成水印，然后将水印发送给受信机构（TA）。当未来需要对图像进行认证时，我们可以通过从图像中提取的特征与来自TA的水印进行比较来证明版权。 [3, 4, 8, 12, 19, 20]中开发了一些水印场景。文等人 [20] 使用高阶累积量构建零水印，对常见信号处理和一些全局几何攻击（如轻微旋转和缩放）具有良好的鲁棒性，但该方案对于高阶累积量的计算具有较大的时间成本并且对大规模旋转不稳健。在[4]中，陈等人提出了一种基于小波的零水印方案，不需要原始图像进行标识验证，并引入数字签名和时间戳等密码工具，使版权证明可公开验证。蔡等人 [19] 提出了一种基于α-修剪均值算法和支持向量机（SVM）的鲁棒无损水印技术。该方案训练 SVM 以记住水印和图像相关水印之间的关系，并且使用 α 修剪均值算子增强了对恶意操作（旋转攻击除外）的鲁棒性。在[3]中，提出了一种空间域自适应版权保护方案。该方法允许图像所有者通过使用阈值调整水印强度来增强水印鲁棒性，该方法的其余部分也类似于陈的方法。范等人 [8] 利用 Haar 整数小波变换，基于提升方案和自适应 Harris 角点检测，提取用于生成二值特征图的图像特征。该方法对各种攻击具有良好的鲁棒性，但方案的稳定性易受局部特征区域半径的影响。拉瓦特等人 [12]提出了一种基于主共享和所有权共享的无损版权保护算法。利用奇异值分解（SVD）提取的原始图像特征生成主共享，并使用视觉密码（VC）技术，借助秘密图像和主共享生成所有权共享。该算法可以更好地抵抗信号处理操作，但对裁剪和Stirmark RBA攻击不具有鲁棒性。

本文基于 Bessel-Fourier 矩，提出了一种新的零水印算法来对抗各种攻击。 Bessel-Fourier 矩，最近作为一种新的图像矩被提出，由于其径向多项式的良好正交性，比极坐标中定义的其他正交矩（例如 Zernike 矩 [18]）具有更好的性能，并已成功应用于模式识别领域[21]。我们的方案使用 Bessel-Fourier 矩的大小以及平移和缩放的归一化构造被视为水印的可见特征图像。所提出方法的目标是提高零水印对各种攻击的鲁棒性。实验结果和分析表明，所提出的方法比上述零水印方法具有更好的整体性能。

本文的其余部分安排如下。在第 2 节中，介绍了 Bessel-Fourier 矩的定义和旋转不变性。第 3 节介绍了图像平移和缩放的归一化。第 4 节描述了零水印算法，使用由 Bessel-Fourier 矩的大小构造的特征向量。第 5 节给出了实验结果和分析。最后，第 6 节总结了介绍。

2.贝塞尔-傅立叶矩

首先给出了第一类贝塞尔函数的定义，然后在该定义的基础上介绍了包括一组矩的贝塞尔-傅立叶矩。

2.1 第一类Bessel函数

通常，使用的 Bessel 函数是第一种 Bessel 函数，其整数阶定义如下 [2]:
J v ( x ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! Γ ( v + k + 1 ) ( x 2 ) v + 2 k = ( x / 2 ) v Γ ( v + 1 ) 0 F 1 ( v + 1 , − ( x / 2 ) 2 ) J_{v}(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k ! \Gamma(v+k+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{v+2 k}=\frac{(x / 2)^{v}}{\Gamma(v+1)}{ }_{0} F_{1}\left(v+1,-(x / 2)^{2}\right) Jv​(x)=k=0∑∞​k!Γ(v+k+1)(−1)k​(2x​)v+2k=Γ(v+1)(x/2)v​0​F1​(v+1,−(x/2)2)
这里 v v v 是一个实数常数， Γ ( a ) \Gamma(a) Γ(a) 是一个gamma函数，${ }{0} F{1}
$ 是广义的超几何函数。Bessel函数是Bessel方程的解
x 2 y ′ ′ + x y ′ + ( x 2 − v 2 ) y = 0 x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-v^{2}\right) y=0 x2y′′+xy′+(x2−v2)y=0
并且具有如下的重复关系：
J v − 1 ( x ) + J v + 1 ( x ) = 2 v x J v ( x ) J_{v-1}(x)+J_{v+1}(x)=\frac{2 v}{x} J_{v}(x) Jv−1​(x)+Jv+1​(x)=x2v​Jv​(x)

2.2 Bessel-Fourier矩

我们在极坐标下使用第一类Bessel函数定义Bessel-Fourier矩如下[21]：
B n m = 1 2 π a n ∫ 0 2 π ∫ 0 1 f ( r , θ ) J v ( λ n r ) exp ⁡ ( − j m θ ) r d r d θ B_{n m}=\frac{1}{2 \pi a_{n}} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} f(r, \theta) J_{v}\left(\lambda_{n} r\right) \exp (-j m \theta) r d r d \theta Bnm​=2πan​1​∫02π​∫01​f(r,θ)Jv​(λn​r)exp(−jmθ)rdrdθ
其中 n = 0 , 1 , 2 , ⋯   , m = 0 , 1 , 2 , ⋯   , n + m n=0,1,2, \cdots, m=0,1,2, \cdots, n+m n=0,1,2,⋯,m=0,1,2,⋯,n+m 是矩的秩， a n = [ J v + 1 ( λ n ) ] 2 / 2 a_{n}=\left[J_{v+1}\left(\lambda_{n}\right)\right]^{2} / 2 an​=[Jv+1​(λn​)]2/2 是一个归一化常数，并且 f ( r , θ ) f(r, \theta) f(r,θ) 是图像。 J v ( λ n r ) J_{v}\left(\lambda_{n} r\right) Jv​(λn​r) 是在 r r r 上的 n n n 阶贝塞尔多项式， λ n \lambda_{n} λn​ 是 J v ( r ) J_{v}(r) Jv​(r) 的第 n n n 个零。多项式 J 1 ( λ n r ) J_{1}\left(\lambda_{n} r\right) J1​(λn​r) 的曲线图如图1所示，并且 J v ( λ n r ) J_{v}\left(\lambda_{n} r\right) Jv​(λn​r) 的集合在 $ r \in[0,1] $ 范围内正交。

图一 贝塞尔-傅立叶矩的径向多项式 J 1 ( λ n r ) J_{1}\left(\lambda_{n} r\right) J1​(λn​r) ， n = 0 , 1 , 2 , ⋯   , 9 n=0,1,2, \cdots, 9 n=0,1,2,⋯,9
∫ 0 1 r J v ( λ n r ) J v ( λ k r ) d r = a n δ n k \int_{0}^{1} r J_{v}\left(\lambda_{n} r\right) J_{v}\left(\lambda_{k} r\right) d r=a_{n} \delta_{n k} ∫01​rJv​(λn​r)Jv​(λk​r)dr=an​δnk​
这里 δ n k \delta_{n k} δnk​ 是克罗内克（Kronecker）符号，可以判断Bessel-Fourier矩的基函数 J v ( λ n r ) exp ⁡ ( − j m θ ) J_{v}\left(\lambda_{n} r\right) \exp (-j m \theta) Jv​(λn​r)exp(−jmθ) 在单位圆内部正交。
∫ 0 1 ∫ 0 2 π [ J v ( λ n r ) exp ⁡ ( − j p θ ) ] ∗ J v ( λ m r ) exp ⁡ ( − j q θ ) r d r d θ = 2 π a n δ n m δ p q \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 \pi}\left[J_{v}\left(\lambda_{n} r\right) \exp (-j p \theta)\right]^{*} J_{v}\left(\lambda_{m} r\right) \exp (-j q \theta) r d r d \theta=2 \pi a_{n} \delta_{n m} \delta_{p q} ∫01​∫02π​[Jv​(λn​r)exp(−jpθ)]∗Jv​(λm​r)exp(−jqθ)rdrdθ=2πan​δnm​δpq​
对于数字图像的 Bessel-Fourier 矩，积分可以用求和代替
B n m = 1 2 π a n ∑ x ∑ y f ( x , y ) V n m ( x , y ) B_{n m}=\frac{1}{2 \pi a_{n}} \sum_{x} \sum_{y} f(x, y) V_{n m}(x, y) Bnm​=2πan​1​x∑​y∑​f(x,y)Vnm​(x,y)
其中 x 2 + y 2 ≤ 1 x^{2}+y^{2} \leq 1 x2+y2≤1, 并且 V n m ( x , y ) = V n m ( r , θ ) = J v ( λ n r ) exp ⁡ ( − j m θ ) V_{n m}(x, y)=V_{n m}(r, \theta)=J_{v}\left(\lambda_{n} r\right) \exp (-j m \theta) Vnm​(x,y)=Vnm​(r,θ)=Jv​(λn​r)exp(−jmθ).
使用 Bessel-Fourier 矩和基函数，可以通过求解方程 (4) 和 (5)来重建图像函数 f ( r , θ ) f(r, \theta) f(r,θ) 。
f ˉ ( r , θ ) = ∑ n = 0 n max ⁡ ∑ m = 0 m max ⁡ B n m J v ( λ n r ) exp ⁡ ( j m θ ) \bar{f}(r, \theta)=\sum_{n=0}^{n_{\max }} \sum_{m=0}^{m_{\max }} B_{n m} J_{v}\left(\lambda_{n} r\right) \exp (j m \theta) fˉ​(r,θ)=n=0∑nmax​​m=0∑mmax​​Bnm​Jv​(λn​r)exp(jmθ)
图2给出了二进制字母 “A”（32×32）和灰度图像 Peppers（128×128）在各种矩阶下的Bessel-Fourier矩的重构结果。

图二 Bessel-Fourier 矩在不同矩阶次下的重构结果

2.3 Bessel-Fourier矩的旋转不变性

根据等式 (4)， 旋转图像的 Bessel-Fourier 矩由下式给出:
B n m ′ = 1 2 π a n ∫ 0 2 π ∫ 0 1 f ′ ( r , θ ) J v ( λ n r ) exp ⁡ ( − j m θ ) r d r d θ = 1 2 π a n ∫ 0 2 π ∫ 0 1 f ( r , θ − α ) J v ( λ n r ) exp ⁡ ( − j m θ ) r d r d θ \begin{aligned} B_{n m}^{\prime} &=\frac{1}{2 \pi a_{n}} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} f^{\prime}(r, \theta) J_{v}\left(\lambda_{n} r\right) \exp (-j m \theta) r d r d \theta \\ &=\frac{1}{2 \pi a_{n}} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} f(r, \theta-\alpha) J_{v}\left(\lambda_{n} r\right) \exp (-j m \theta) r d r d \theta \end{aligned} Bnm′​​=2πan​1​∫02π​∫01​f′(r,θ)Jv​(λn​r)exp(−jmθ)rdrdθ=2πan​1​∫02π​∫01​f(r,θ−α)Jv​(λn​r)exp(−jmθ)rdrdθ​
其中 f ′ ( r , θ ) f^{\prime}(r, \theta) f′(r,θ) 是旋转角度为 α \alpha α 的图像 f ( r , θ ) f(r, \theta) f(r,θ) 的旋转版本，并且 f ′ ( r , θ ) = f^{\prime}(r, \theta)= f′(r,θ)= $f(r, \theta-\alpha) $ 。设 ϕ = θ − α \phi=\theta-\alpha ϕ=θ−α， 等式 (9) 可写为:
B n m ′ = 1 2 π a n ∫ 0 2 π ∫ 0 1 f ( r , ϕ ) J v ( λ n r ) exp ⁡ ( − j m ( ϕ + α ) ) r d r d ϕ = [ 1 2 π a n ∫ 0 2 π ∫ 0 1 f ( r , ϕ ) J v ( λ n r ) exp ⁡ ( − j m ϕ ) r d r d ϕ ] exp ⁡ ( − j m α ) = B n m exp ⁡ ( − j m α ) \begin{aligned} B_{n m}^{\prime} &=\frac{1}{2 \pi a_{n}} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} f(r, \phi) J_{v}\left(\lambda_{n} r\right) \exp (-j m(\phi+\alpha)) r d r d \phi \\ &=\left[\frac{1}{2 \pi a_{n}} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} f(r, \phi) J_{v}\left(\lambda_{n} r\right) \exp (-j m \phi) r d r d \phi\right] \exp (-j m \alpha)=B_{n m} \exp (-j m \alpha) \end{aligned} Bnm′​​=2πan​1​∫02π​∫01​f(r,ϕ)Jv​(λn​r)exp(−jm(ϕ+α))rdrdϕ=[2πan​1​∫02π​∫01​f(r,ϕ)Jv​(λn​r)exp(−jmϕ)rdrdϕ]exp(−jmα)=Bnm​exp(−jmα)​
由方程 (10) 得出图像以旋转角 α \alpha α 旋转仅导致 Bessel-Fourier 矩的相移。因此我们有:

∣ B n m ∣ = ∣ B n m ′ ∣ \left|B_{n m}\right|=\left|B_{n m}^{\prime}\right| ∣Bnm​∣=∣Bnm′​∣
其中 |·|表示幅度运算符。因此，贝塞尔-傅立叶矩的大小具有旋转不变性。

3.平移和缩放的归一化

假设图像 g ( x , y ) g(x, y) g(x,y) 是 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 的仿射变换，我们有 g ( x , y ) = f ( x a , y a ) g(x, y)=f\left(x_{a}, y_{a}\right) g(x,y)=f(xa​,ya​)，其中:
( x a y a ) = A ⋅ ( x y ) − T \left(\begin{array}{l} x_{a} \\ y_{a} \end{array}\right)=A \cdot\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right)-T (xa​ya​​)=A⋅(xy​)−T
其中：
A = ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) , T = ( t 1 t 2 ) A=\left(\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right), \quad T=\left(\begin{array}{l} t_{1} \\ t_{2} \end{array}\right) A=(a11​a21​​a12​a22​​),T=(t1​t2​​)
平移的归一化可以通过使用图像质心的不变性来实现，在等式 (12) 中设置 矩阵 A = ( 1 0 0 1 ) A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) A=(10​01​) 和 向量 T = ( t 1 t 2 ) T=\left(\begin{array}{l}t_{1} \\ t_{2}\end{array}\right) T=(t1​t2​​) 且：
t 1 = m 10 m 00 , t 2 = m 01 m 00 t_{1}=\frac{m_{10}}{m_{00}}, \quad t_{2}=\frac{m_{01}}{m_{00}} t1​=m00​m10​​,t2​=m00​m01​​
其中 m 00 , m 01 m_{00}, m_{01} m00​,m01​ 和 m 10 m_{10} m10​ 是 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 的几何矩。
令 f 1 ( x , y ) f_{1}(x, y) f1​(x,y) 表示平移归一化的中心图像， f 1 ( x , y ) f_{1}(x, y) f1​(x,y) 的尺度归一化可以通过 f 2 ( x , y ) = A S [ f 1 ( x , y ) ] f_{2}(x, y)=A_{S}\left[f_{1}(x, y)\right] f2​(x,y)=AS​[f1​(x,y)]得到，其中 f 2 ( x , y ) f_{2}(x, y) f2​(x,y) 是结果图像， A S A_{S} AS​ 由下式给出：
A S = ( α 0 0 δ ) A_{S}=\left(\begin{array}{cc} \alpha & 0 \\ 0 & \delta \end{array}\right) AS​=(α0​0δ​)
其中缩放参数 α \alpha α 和 δ \delta δ 的大小是通过将图像 f 1 ( x , y ) f_{1}(x, y) f1​(x,y) 调整为规定的标准尺寸[7]来确定的。

4.零水印算法

在零水印算法中，水印通常是根据图像的重要特征生成的，在所提出的方法中，图像的贝塞尔-傅立叶矩的大小被视为特征向量，用于创建水印。由于高阶矩具有较高的计算复杂度，因此由低阶矩的大小构造的水印是可取的。

4.1生成过程

签名过程如图3所示，总结如下：

图三 水印生成流程图

步骤 1. 应用第 3 节中描述的图像归一化程序以获得归一化图像。

步骤 2. 计算归一化图像的 Bessel-Fourier 矩，然后根据矩的大小以生成如下特征向量：
q ⃗ = ( q 1 , q 2 , … , q N ) = ( ∣ B 00 ∣ , ∣ B 10 ∣ , ∣ B 01 ∣ , … , ∣ B n max ⁡ 0 ∣ , ∣ B ( n max ⁡ − 1 ) 1 ∣ , … , ∣ B 0 n max ⁡ ∣ ) \begin{aligned} \vec{q} &=\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N}\right) \\ &=\left(\left|B_{00}\right|,\left|B_{10}\right|,\left|B_{01}\right|, \ldots,\left|B_{n \max 0}\right|,\left|B_{(n \max -1) 1}\right|, \ldots,\left|B_{0 n \max }\right|\right) \end{aligned} q ​​=(q1​,q2​,…,qN​)=(∣B00​∣,∣B10​∣,∣B01​∣,…,∣Bnmax0​∣,∣∣​B(nmax−1)1​∣∣​,…,∣B0nmax​∣)​
其中 N N N 是特征向量的长度， n n n m a x max max 表示 Bessel-Fourier 矩的最大阶数。在我们的实验中， n n n m a x max max =10。根据 Bessel-Fourier 矩的定义（4），我们可以很容易地知道从 0 到 10 阶的 Bessel-Fourier 矩的个数分别为 1、2、3…11，所以 N=66。

步骤 3. 按照以下公式对特征向量 q ⃗ \vec{q} q ​ 进行二值化得到二值序列Z：
Z i = { 1  if  q i > T 0  if  q i ≤ T i = 1 , 2 , … , N Z_{i}=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text { if } q_{i}>T \\ 0 & \text { if } q_{i} \leq T \end{array} \quad i=1,2, \ldots, N\right. Zi​={10​ if qi​>T if qi​≤T​i=1,2,…,N
其中 T T T 是由特征向量 q ⃗ \vec{q} q ​ 的中值决定的阈值，在我们的实验中 T T T 设置为 2 × 1 0 5 2 \times 10^{5} 2×105。

步骤 4. 将二值序列 Z Z Z 的大小通过复制操作（多个 Z Z Z 的顺序连接）扩展为 P × Q P×Q P×Q，将生成的扩展序列标记为 Z ′ Z^{\prime} Z′，这里， P × Q P×Q P×Q 为logo图像 W W W 的大小。

步骤 5. 将 Z ′ Z^{\prime} Z′ 重新构造为二维图像，大小为 P × Q P×Q P×Q，记为 Z ′ ′ Z^{\prime \prime} Z′′。出于安全原因，我们使用[10]描述的带有种子 s s s 的复合混沌系统，简要介绍如下：
{ x n + 1 = F ( x n ) = f 0 ( I n ) ( x n ) I n = B ( ⌊ w f 1 ( y n ) ⌋   m o d   r ) ⊕ B ( ⌊ e f 1 ( y n ) ⌋   m o d   t ) \left\{\begin{array}{l} x_{n+1}=F\left(x_{n}\right)=f_{0}^{\left(I_{n}\right)}\left(x_{n}\right) \\ I_{n}=B\left(\left\lfloor w f_{1}\left(y_{n}\right)\right\rfloor \bmod r\right) \oplus B\left(\left\lfloor e f_{1}\left(y_{n}\right)\right\rfloor \bmod t\right) \end{array}\right. {xn+1​=F(xn​)=f0(In​)​(xn​)In​=B(⌊wf1​(yn​)⌋modr)⊕B(⌊ef1​(yn​)⌋modt)​
其中 f 0 f_{0} f0​ 和 f 1 f_{1} f1​ 是离散混沌系统，例如 Logistic map， I n I_{n} In​ 表示用于对 $f_{0} $ 的混沌序列进行采样的区间因子。$ B(\cdot)$ 是取二进制位的函数。 ⊕ \oplus ⊕ 表示异或运算， w , r , e , t w, r, e , t w,r,e,t 为整数常数， x n + 1 = F ( x n ) = f 0 ( I n ) ( x n ) x_{n+1}=F\left(x_{n}\right)=f_{0}{ }^{\left(I_{n}\right)}\left(x_{n}\right) xn+1​=F(xn​)=f0​(In​)(xn​) 称为定义在 f 0 f_{0} f0​ 和 f 1 f_{1} f1​ 上的复合混沌系统。

步骤 6. 验证图像 v i m g vimg vimg 是通过执行异或运算 v i m g = f i m g ⊕ W vimg = fimg ⊕W vimg=fimg⊕W 生成的。

步骤 7. 验证图像 v i m g vimg vimg 和额外信息 { s ∣ ∣ I D signer  } \left\{s|| \mathrm{ID}_{\text {signer }}\right\} {s∣∣IDsigner ​} 由签名者使用安全通道发送给可信机构 ( T A ) (TA) (TA)，其中 s s s 是加扰种子， I D signer  \mathrm{ID}_{\text {signer }} IDsigner ​ 表示签名者的身份。 T A TA TA 收到消息后，结合时间戳 t t t 对消息做一个摘要作为证明，定义为：
h T A = H T A ( s ∥ I D signer  ∥ t ) h_{T A}=H_{T A}\left(s\left\|I D_{\text {signer }}\right\| t\right) hTA​=HTA​(s∥IDsigner ​∥t)
其中 H T A ( ⋅ ) H_{T A}(\cdot) HTA​(⋅) 代表一种单向哈希函数。

4.2验证过程

验证过程如图 4 所示，总结如下：

图四 验证程序框图

步骤 1. 首先，从 T A \mathrm{TA} TA 获得 h T A , t , H T A ( ⋅ ) h_{T A}, t, H_{T A}(\cdot) hTA​,t,HTA​(⋅) 并计算新的消息摘要 h T A ′ = H T A ( s ∥ I D signer  ∥ t ) h_{T A}^{\prime}=H_{T A}\left(s\left\|\mathrm{ID}_{\text {signer }}\right\| t\right) hTA′​=HTA​(s∥IDsigner ​∥t)，然后将 h T A ′ h_{T A}^{\prime} hTA′​ 与 h T A h_{T A} hTA​ 进行比较，以确认信息的完整性和有效性信息 { s ∥ I D signer  ∥ t } \left\{s\left\|\mathrm{ID}_{\text {signer }}\right\| t\right\} {s∥IDsigner ​∥t}.

步骤 2. 使用与特征向量生成和特征图像生成过程相同的方法，通过复合混沌以种子 s s s 实现生成测试图像，得到特征图像 f i m g ′ fimg' fimg′。

步骤 3. 最后，执行 W ′ = f i m g ′ ⊕ v i m g W'= fimg'⊕vimg W′=fimg′⊕vimg，生成一个可见的logo图像 W ′ W' W′，然后验证者可以直观地证明 W ′ W' W′ 对测试图像的所有权。

_{\text {signer }}\right| t\right}$.

步骤 2. 使用与特征向量生成和特征图像生成过程相同的方法，通过复合混沌以种子 s s s 实现生成测试图像，得到特征图像 f i m g ′ fimg' fimg′。

步骤 3. 最后，执行 W ′ = f i m g ′ ⊕ v i m g W'= fimg'⊕vimg W′=fimg′⊕vimg，生成一个可见的logo图像 W ′ W' W′，然后验证者可以直观地证明 W ′ W' W′ 对测试图像的所有权。