计算机组成原理 - 定点整数的原码补码运算（待验证）
目录〇、环境
| 对象 | 运算 |
|---|---|
| 定点整数原码、定点整数补码 | 移位、加、减、乘、除 |
原码定义：
\(x=\begin{cases} x &0\le x < 2^{n} \\2^{n}-x &-2^{n} < x \le 0 \end{cases}\)
其中，n为x的位数，最终原码有n+1位。
定义分析：当真值为正时，原码即为真值的二进制形式，但是在二进制最高位添加一个0作为符号位（定义没有体现）。当真值为负时，去掉原码二进制形式的负号，在二进制最高位添加一个1作为符号位。
伸展和收缩：由定义分析可知，x宽度变化时，非符号部分添加或移除高位0（也即整数的二进制形式调整宽度），符号部分不变。在形式上，无论正负，都是在最高位新增或移除0。
例0-1 求\(11_b\)的8位原码表示
解：为011，扩展到8位为0000 0011。
例0-2 求\(-11_b\)的8位原码表示
解：100-(-11)=111，扩展到8位为0000 0111。
补码定义：
\(x=\begin{cases} x &0\le x < 2^n \\2^{n+1}+x &-2^n \le x < 0 \end{cases}\)
其中n为x的位数，最终有n+1位（去掉一定为0的最高位）。
定义分析：当真值为正时，保留真值的二进制形式，并在最高位添加一个0作为符号位。当真值为负时，则与10...0(共n+2位)相加，联系反码的特点，即将真值负号移除后每位取反，然后加1，然后最高位添加1作为符号位。
伸展与收缩：由定义分析，当真值为正时，则和原码一致，添加0即可。当为负时，扩展添0，取反后则为添1，加1时不会影响扩展位（因为负值的二进制形式必不全为0），最后保持符号位不变。形式上，正值在最高位添加和删除0，负值扩在最高位添加和删除1。
例0-3 求11的8位补码表示
解：为011，扩展到8位为0000 0011。
例0-4 求-11的8位补码表示
解：为1000-11=0101，即101，扩展到8位为1111 1101。
还可以利用性质来求：^11=00，00+1=01，添加符号位即101。
一、移位运算
移位的数学意义为乘2和除2。
1.算术移位
识别符号的移位，符号位不变。
| 编码 | 机器数（真值） | 算术左移（真值） | 算术右移（真值） |
|---|---|---|---|
| 原码 | 0001(1) | 0010(2) | 0000(0) |
| 原码 | 0100(4) | 0000(0) | 0010(2) |
| 原码 | 1001(-1) | 1010(-2) | 1000(-0) |
| 原码 | 1100(-4) | 1000(-0) | 1010(-2) |
| 补码 | 1001(-7) | 1010(-6) | 1100(-4) |
| 补码 | 1100(-4) | 1000(-8) | 1010(-6) |
2.逻辑移位
不识别符号的移位。
3.移位总结
对于原码和补码，算术移位和逻辑移位，左移和右移，仅有负数的补码形式在右移时填充1，其余均为填0。
对于正数、原码负数，左移掉1则引起错误，右移掉1则引起偏差。
对于补码负数，左移掉0则引起错误，右移掉0则引起偏差。
二、加法和减法
1.原码加、减法
直接根据符号位进行加减即可。将符号位提取出来，然后转换成“正值+正值”或者“正值-正值”的形式。
| 参数1（真值） | 参数2（真值） | 运算 | 结果（真值） |
|---|---|---|---|
| 0100(4) | 0001(1) | + | 0101(5) |
| 0100(4) | 1001(-1) | + | 0011(3) |
2.补码加法
若有 \(A>0,B>0\) ， 则
\([A]_补=A,[B]_补=B，\)即 \([A]_补+[B]_补=A+B=[A+B]_补\)。
若有 \(A>0,B<0\) ，则
\([A]_补=A,[B]_补=2^{n+1}+B,[A+B]_补=(A+B)或2^{n+1}+(A+B)\) ，即 \([A]_补+[B]_补=[A+B]_补(mod\space2^{n+1})\)
其它情况类似，不重复。
即补码加法公式：
\[[A+B]_补=[A]_补+[B]_补\space(mod\space2^{n+1}) \]公式说明：
右边的加法为二进制加法，不考虑符号位。相加后去掉溢出位，即得到补码加法的结果（当然也是补码形式）。也即两个真值的补码直接相加即得两个真值的和的补码（宽度不变）。
例2.2-1 计算 \(0001_补+1111_补\) 。
解：\(0001+1111=1,0000\)，去掉溢出位，即结果为 \(0000\) 。
例2.2-2 计算 \(1111_补+1110_补\) 。
解：\(1111+1110=11101\)，去掉溢出位，即结果为 \(1101\)
3.补码减法
将减法转换为加法进行运算。
因为 \(A-B=A+(-B)，（B>0）\) ，
即 \([A-B]_补=[A+(-B)]_补\) ，
即补码的减法公式 $$[A-B]_补=[A]_补 + [-B]_补\space(mod\space 2^{n+1})$$
其中 \([-B]_补=\text{\textasciicircum}[B]_补+1\) 。^表示按位取反。
例2.3-1 计算 \(1111_补-0001_补\) 。
解：\(\text{\textasciicircum}[0001]+1=1110+1=1111，故1111-0001=1111+1111=11110\) ，去掉溢出位，结果为\(1110\)。
三、乘法
1.原码乘法
将符号位分离，单独计算正值的乘法，最后将符号计算并赋予结果。
正值的乘法和十进制乘法基本一致，在逻辑上表现为部分积累加并移位。
\[\begin{aligned} &0011 \\\times\space&0010 \\&0000 \\0&011 \\=\space0&0110 \end{aligned} \]例3.1-1 计算 \(0011_原\times0010_原\) 。
解：直观结果为3x2=6=0110。
原码乘法计算过程：
\[\begin{aligned} &0111 \\\times\space&0111 \\&0111 \\0&111 \\01&11 \\=\space11&0001 \end{aligned} \]例3.1-2 计算 \(0111_原\times0111_原\) 。
解：直观结果为7x7=49=00110001。
原码乘法计算过程：
2.补码乘法
先讨论补码乘法乘数为正的情况。
对 \([X]_补\times[Y]_补\) ，假设 \(Y>0\) ，则有
\([X]_补=2^{n+1}+X\space(mod\space 2^{n+1}),[Y]_补=Y\)
\([X]_补\times[Y]_补=(2^{n+1}+X)\cdot Y\space(mod\space2^{n+1}) \\=X\cdot Y\space(mod\space2^{n+1}) \\=[X\cdot Y]_补\space(mod\space2^{n+1})\)
这说明，当 \(Y\) 为正时，补码的乘法即为各自补码直接二进制乘法的结果（去除溢出位）。
例3.2-1 计算 \(1111_补\times0011_补\) 。
\[\begin{aligned} &1111 \\\times\space&0011 \\&1111 \\1&111 \\=\space10&1101 \end{aligned} \]
解：直观结果为(-1)x(3)=-3=1101。去除溢出位即为 \(1101\)
再讨论乘数为负的情况。
此时有 \([Y]_补=2^{n+1}+Y\) ，也即 \(Y=[Y]_补-2^{n+1}\) 。
即 \(X\cdot Y=X\cdot ([Y]_补-2^{n+1})\) 。
记 \([Y]_补=1y_1y_2...y_n=0y_1y_2...y_n+2^n\) 。
则 \(X\cdot Y=X\cdot(0y_1y_2...y_n-2^{n}) \\=X\cdot 0y_1y_2...y_n-X\cdot 2^n\) 。
即 \([X\cdot Y]_补=[X\cdot 0y_1y_2...y_n-X\cdot 2^n]_补\)
由补码减法公式，分解右式，有
\([X\cdot Y]_补=[X\cdot 0y_1y_2...y_n]_补+[-X\cdot 2^n]_补\space(mod\space2^{n+1})\)
记 \(X=x_1x_2...x_n\) ，则 \([-X\cdot 2^n]_补=[-x_1x_2...x_n0_10_2...0_n]_补 \\=1\text{\textasciicircum}(x_1x_2...x_n)1_11_2...1_n+1 \\=x_n0_10_2...0_n \\=x_n\times2^n\space(mod\space2^{n+1})\)
\(0.y_1y_2...y_n\) 是一个补码形式的正数，可应用补码正乘数规律进行分解。故
\([X\cdot Y]_补=[X]_补\cdot 0y_1y_2...y_n+x_n\times2^n\space(mod\space2^{n+1})\)
也即如果乘数为负，则将乘数去掉符号位与被乘数二进制相乘，然后加上 \(x_n\times2^n\) 即得乘积的补码。
例3.2-2 计算 \(0011_补\times1110_补\) 的8位补码表示
\[\begin{aligned} &0011 \\\times\space&0110 \\0&011 \\00&11 \\=\space01&0010 \\+\space&1000 \\=\space01&1010 \end{aligned} \]
解：直观结果为 \(3\times(-2)=-6=1010\)
解法：
\(x_n\times2^n\)=1000保留4位为 \(1010\)，扩展到8位为 \(1111\space1010\)。
例3.2-3 计算 \(1110_补\times 1110_补\) 的8位补码表示
\[\begin{aligned} &1110 \\\times\space&0110 \\1&110 \\11&10 \\=\space101&0100 \\+\space&0000 \\=\space101&0100 \end{aligned} \]
解：直观结果为 \(-2\times-2=4=0100=0000,0100\)
解法：
\(x_n\times2^n=0\)保留4位为0100，扩展到8位为 \(0000,0100\) 。
总结：
\[[X\cdot Y]_补= \begin{cases} [X]_补\times[Y]_补\space(mod\space2^{n+1}) &Y\ge0 \\ [X]_补\cdot 0y_1y_2...y_n+x_n\times2^n\space(mod\space2^{n+1}) \space &Y<0 \end{cases} \]记 \(Y=y_0y_1y_2...y_n\)，则可以简化为
\[[X\cdot Y]_补=[X]_补\cdot 0y_1y_2...y_n+y_0\cdot x_n\times2^n\space(mod\space2^{n+1}) \space \]