目录

• • 使用Eigen库的原因
  • 三维空间中刚体的旋转表示
  • • 1.旋转矩阵
    • • 扩展：欧几里得坐标系（即欧式坐标）
      • • 扩展：齐次坐标在欧式空间的好处
    • 2.四元数
    • 3.旋转向量
    • 4.欧拉角
  • Eigen库的安装与基础

使用Eigen库的原因

开源线性代数库
矩阵运算，表达刚体旋转

三维空间中刚体的旋转表示

1.旋转矩阵

R和t组成齐次变换矩阵T，表达连续的欧式变换
R的逆矩阵表示相反的旋转

扩展：欧几里得坐标系（即欧式坐标）

定义了内积，角，距离。三维坐标系下的外积：
内积：

几何概念，角：

距离：
d(x,y)=||x-y||

三维坐标系下的外积：
齐次坐标下，向量a x b表示与a，b都垂直的向量

扩展：齐次坐标在欧式空间的好处

1.方便表达点在线上或平面上
直线 l 用ax + by + c = 0表示

p的齐次坐标（x,y,1）

面的原理同上
2.方便表达直线和角点
在齐次坐标下，可以用两个点 p, q 的齐次坐标叉乘结果来表达一条直线 l，也就是
l = p x q
也可以使用两条直线 l, m 的叉乘表示他们的交点 x
x = l x m
3.方便区分点和向量
(1)从普通坐标转换成齐次坐标时，
如果(x,y,z)是个点，则变为(x,y,z,1);
另：如果是点（x，y，z，0）则表示无穷远处的点
如果(x,y,z)是个向量，则变为(x,y,z,0)

(2)从齐次坐标转换成普通坐标时 ，
如果是(x,y,z,1)，则知道它是个点，变成(x,y,z);
如果是(x,y,z,0)，则知道它是个向量，仍然变成(x,y,z)

4.更优美的表达欧式变换
将平移的加法变成矩阵相乘
当面对连续的旋转平移，就体现了优势，变成了连续的矩阵相乘

2.四元数

w+xi+yj+zk 即（w,x,y,z）

单位四元数才能描述旋转，使用前要归一化：q.normalize( )

3.旋转向量

一个轴，一个角描述旋转，360度一圈，所以有奇异性
旋转向量到旋转矩阵有罗德里格斯公式，opencv和MATLAB有函数实现
旋转向量和旋转矩阵的转换对应于李代数和李群的映射

4.欧拉角

yaw,pitch,roll轴
俯仰角正负90度，一次和第三次旋转共轴，丢失一个*度
三维旋转需要四个变量

Eigen库的安装与基础

安装：sudo apt-get install libeigen3-dev

1.Eigen库只有头文件，没有.so,.a等二进制库文件
在CMakeLists.txt里只需要添加头文件路径，不需要target_link_libraries将程序链接到库
2.转换图