前缀和
前缀和是指某序列的前n项和，而差分则可以看成前缀和的逆运算。
一维前缀和
例题
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l, r 。
对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数数列。
接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。
输出格式
共 m 行，每行输出一个询问的结果。
输入样例：
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
输出样例：
3
6
10代码实现：
1 #include <iostream>
2 using namespace std;
3
4 const int N = 1e5 + 10;
5 int sum[N];//前缀和数组
6
7 int main(){
8 //n个数，q对查询
9 int n, q;
10 cin >> n >> q;
11 for (int i = 0; i < n;i++){
12 int num;
13 //使用scanf增加读入效率
14 scanf("%d", &num);
15 //构造前缀和数组
16 sum[i] = i == 0 ? num : sum[i - 1] + num;
17 }
18 while(q--){
19 int l,r;
20 scanf("%d%d", &l, &r);
21 //利用前缀和输出结果
22 printf("%d\n", sum[r] - sum[l - 1]);
23 }
24 return 0;
25 }
二维前缀和
对于下面一道例题：
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2。表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
1、首先预处理出二维前缀和
如图，蓝色矩形为我们所求的（i，j）位置的前缀和。蓝色面积 = 绿色面积 + 紫色面积 - 红色面积 + 小方块面积
因此得出二维前缀和预处理公式
s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1 ] + a[i][j] - s[i-1][j-1]
2、然后求子矩阵的面积
如图，绿色矩形的面积即为所求。绿色面积 = 整个的蓝色面积 - 黄色面积 - 紫色面积 + 红色面积（被重复减去）
所以以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：s[x2, y2] - s[x1 - 1, y2] - s[x2, y1 - 1] + s[x1 - 1, y1 - 1]
完整例题
输入一个 nn 行 mm 列的整数矩阵，再输入 qq 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式
第一行包含三个整数 n，m，q 。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2。表示一组询问。
输出格式
共 q 行，每行输出一个询问的结果。
输入样例：
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4
输出样例：
17
27
21
代码实现：
1 #include <iostream>
2 using namespace std;
3
4 const int N = 1010;
5 int a[N][N], s[N][N];
6
7 int main() {
8 int n, m, q;
9 cin >> n >> m >> q;
10
11 for (int i = 1; i <= n; i++)
12 for (int j = 1; j <= m; j++) {
13 scanf("%d", &a[i][j]);
14 // 求前缀和
15 s[i][j] = s[i][j - 1] + s[i - 1][j] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
16 //s[i][j] = s[i][j - 1] + s[i - 1][j] - s[i - 1][j - 1] + s[i][j];
17 }
18
19 while (q--) {
20 int x1,y1,x2,y2;
21 scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
22 //子矩阵的和
23 printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
24 }
25
26 return 0;
27 }
差分
差分实质上就是前缀和的逆运算过程
一维差分
在一个数组中，有n个操作，每个操作把【l , r 】的每个元素 + c（或者 - c）
1、构造一个差分数组d [ ]，d[ n ] = a[ n ] - a[n - 1]
2、在差分数组打上标记，使d[ l ] + c，d[ r ] - c
3、求标记后的差分数组的前缀和数组 s [ ]
完整例题
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l, r]之间的每个数加上 c。
请你输出进行完所有操作后的序列。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数序列。
接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。
输出格式
共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。
输入样例：
6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1
输出样例：
3 4 5 3 4 2代码实现：
1 #include<iostream>
2 using namespace std;
3
4 const int N = 1e5 + 10;
5 int a[N], d[N];
6
7 int main()
8 {
9 int n, m;
10 scanf("%d%d", &n, &m);
11 for (int i = 1; i <= n; i++){
12 scanf("%d", &a[i]);
13 //构建差分数组
14 d[i] = a[i] - a[i - 1];
15 }
16 int l, r, c;
17 while (m--){
18 scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
19 //打上标记
20 d[l] += c;
21 d[r + 1] -= c;
22 }
23 for (int i = 1; i <= n; i++){
24 //前缀和运算
25 d[i] += d[i - 1];
26 printf("%d ", d[i]);
27 }
28 return 0;
29 }
二维差分
让二维数组中左上角坐标为 (x1, y2), 右下角坐标为 (x2, y2) 的子矩阵中的每个元素的值加上c（或者减去c）。
整体思想和一维差分一样。关键在于以下两点
1、构造二维差分数组
-
我们可以先假想a数组为空，那么d数组一开始也为空，但是实际上a数组并不为空，因此我们每次让以(i,j)为左上角到以(i,j)为右下角面积内元素(其实就是一个小方格的面积)去插入 c=a[i][j]，等价于原数组a中(i,j) 到(i,j)范围内 加上了 a[i][j] ,因此执行n*m次插入操作，就成功构建了差分d数组.
- 直接构造：d[i][j]=a[i][j]−a[i−1][j]−a[i][j−1]+a[i−1][j−1]
2、对差分数组打上标记
- b[x1][y1] += c;
- b[x2 + 1][y1] -= c;
- b[x1][y2 + 1] -= c;
- b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
完整例题
输入一个 nn 行 mm 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1)和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
第一行包含整数 n,m,qn,m,q。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c, 表示一个操作。
输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
输入样例：
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例：
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2代码实现：
方法一：
先构建差分标记数组（默认为0），再求差分标记数组的前缀和数组，再将前缀和数组与原数组结合求值
1 #include <iostream>
2
3 using namespace std;
4 const int N = 1010;
5 int arr[N][N], d[N][N];
6
7 void change(int x1,int y1,int x2,int y2,int c){
8 d[x1][y1] += c;
9 d[x2 + 1][y1] -= c;
10 d[x1][y2 + 1] -= c;
11 d[x2 + 1][y2 + 1] += c;
12 }
13
14 int main() {
15 int n,m,q;
16 cin >> n >> m >> q;
17 for (int i = 0; i < n;i++)
18 for (int j = 0; j < m;j++)
19 scanf("%d", &arr[i][j]);
20 cout << endl;
21 //构建差分标记数组
22 while(q--){
23 int x1, y1, x2, y2, c;
24 scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
25 change(x1, y1, x2, y2, c);
26 }
27
28 //求差分标记数组的前缀和数组
29 for (int i = 1; i <= n; i++)
30 for (int j = 1; j <= m; j++) {
31 d[i][j] += d[i - 1][j] + d[i][j - 1] - d[i - 1][j - 1]; // 求前缀和
32 }
33
34 //将求出来的前缀和数组与原数组结合
35 for (int i = 0; i < n + 1; i++)
36 for (int j = 0; j < m + 1; j++)
37 arr[i][j] += d[i + 1][j + 1];//根据题意适当考虑i+1，j+1
38
39 //打印输出操作后的数组
40 for (int i = 0; i < n; i++)
41 {
42 for (int j = 0; j < m; j++)
43 printf("%d ", arr[i][j]);
44 cout << endl;
45 }
46 return 0;
47 }
方法二：
先求差分数组，再打标记，再求前缀和
1 #include <iostream>
2 using namespace std;
3
4 const int N = 1010;
5
6 int n, m, q;
7 int a[N][N], b[N][N];
8
9 void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
10 {
11 b[x1][y1] += c;
12 b[x2 + 1][y1] -= c;
13 b[x1][y2 + 1] -= c;
14 b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
15 }
16
17 int main()
18 {
19 scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
20 //读入矩阵
21 for (int i = 1; i <= n; i ++ )
22 for (int j = 1; j <= m; j ++ )
23 scanf("%d", &a[i][j]);
24
25 //构造差分数组
26 for (int i = 1; i <= n; i ++ )
27 for (int j = 1; j <= m; j ++ )
28 insert(i, j, i, j, a[i][j]);
29
30 //差分标记
31 while (q -- )
32 {
33 int x1, y1, x2, y2, c;
34 cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
35 insert(x1, y1, x2, y2, c);
36 }
37
38 //求前缀和数组
39 for (int i = 1; i <= n; i ++ )
40 for (int j = 1; j <= m; j ++ )
41 b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];
42
43 //输出结果矩阵
44 for (int i = 1; i <= n; i ++ )
45 {
46 for (int j = 1; j <= m; j ++ )
47 printf("%d ", b[i][j]);
48 cout << endl;
49 }
50
51 return 0;
52 }