题目描述：

给定一个 正整数 num ，编写一个函数，如果 num 是一个完全平方数，则返回 true ，否则返回 false 。

进阶：不要 使用任何内置的库函数，如  sqrt 。

解法：

最直接的解法是遍历从 1 到 num 的整数，如果存在某个整数的平方是给定的 num，则 num 是一个完全平方数。如果num大于4，还可以只遍历 1 到 num / 2 之间的数，因为 x 大于 2 时，有。

但是当给定的num很大时以上的操作比较耗费时间，想要提高效率可以使用二分法或者牛顿法，这里采用牛顿法。

考虑函数  ，这个函数零点就有一个是  ，又因为f(x) 为凸函数，使用牛顿法可以求出这个正零点的近似值。

注意到，如果这个零点严格上是一个整数，那么求出的近似值一定时大于这个整数的浮点数，使用浮点数到整数的强制类型转换时会直接去掉浮点数的小数部分，也就是可以得到严格的零点x0，此时可以使用x0*x0==num验证。当然如果num不是完全平方数，得到的x0*x0一定不等于num。

代码如下：

bool isPerfectSquare(int num){
    double x1 = num;
    double x2;
    while(true){
		x2 = 0.5*(x1 + num / x1); // 下一点
		printf("x1=%f, x2=%f\n", x1, x2);
		if(x1 - x2 < 1e-5)
			break;
		x1 = x2;
    }
    int x = (int) x2;
    printf("==%d==\n", x);
    return (x*x==num);    
}